Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

~~ 82-33. XV. Abschnitt. Durchdringungen krummflächiger Körper. 185
bestimmt, welche um den Schnittpunkt der beiden Rotationsachsen gelegt
werden. Diese Kugeln schneiden jede der gegebenen Flächen in Kreisen,
und diese Kreise sind bequem zu konstruieren, sobald eine Projektionsebene zur Ebene der beiden Rotationsachsen parallel ist. Näheres findet
sich bei Monge, 1. Aufl. (an VII, 1798-99) S. 85, 86, Haußners Ausgabe in Ostwalds Klassikern S. 116-118.
Im Abschnitt über stereometrische Aufgaben ist nach dieser Methode
die aus Geraden bestehende Durchdringungskurve zweier konzentrischer
Rotationskegel bestimmut, wenn die beiden Rotationsachsen in iTT liegen
(XVI. ~ 6). Diese Aufgabe wird erst dort behandelt, weil sie da als
Grundlage zur Lösung einer einfachen stereometrischen Aufgabe auftritt
und weil sich daran noch weitere verwandte Aufgaben anschließen.
~ 33. Die Durchdringung eines Kegels mit einer Kugel, deren
Mittelpunkt die Kegelspitze ist. Zum Schluß mag noch ein Fall einer
Durchdringung zweier krummen Flächen besprochen werden, bei welchem
die Durchdringungskurve aus einzelnen Punkten konstruiert wird, ohne
daß man ein System von Hilfsflächen im Sinne des ~ 1 benutzt.
Ein Kegel zweiter Ordnung mit in rTT liegender elliptischer Basis
ist durch diese Basis und die Projektionen seiner Spitze S gegeben (Fig. 102,
Taf. VI). Seine Durchdringung mit einer um S beschriebenen Kugel
von gegebenem Radius r ist gesucht. Man kann sich auf den Kegel im
elementaren Sinn, auf die unterhalb S liegende Hälfte des vollständigen
Kegels beschränken, weil auf der oberen Hälfte des Kegels eine kongruente
Kurve auftritt.
Dann handelt es sich im Grunde darum, auf einzelnen Mantelgeraden
des Kegels von S aus nach unten die Länge r abzutragen. Dazu kann
man etwa diese Mantelgeraden um die durch S gehende Vertikale drehen,
bis sie parallel zu TT2 werden, dann die Längenabtragung machen und die
Geraden wieder zurückdrehen (I. Abschn. ~ 11). So erhält man beide
Projektionen von einzelnen Punkten der Durchdringungskurve. Der Grundriß der Kurve ist ellipsenartig, er ist die eine Hälfte einer aus zwei
kongruenten Ovalen bestehenden ebenen Kurve vierter Ordnung. Beide
Ovale besitzen eine leicht anzugebende Symmetrieachse. Der Aufriß, ebenfalls die Hälfte einer ebenen Kurve vierter Ordnung, ist 8-förmig, er hat
einen Doppelpunkt. Hier liegt nun ein Fall vor, wo sich der Doppelpunkt aus ganz elementaren Sätzen konstruieren läßt.l) Darum soll dies
noch erledigt werden.
Der Doppelpunkt im Aufriß der Kurve entspricht zwei getrennten Kurvenpunkten im Raum, die auf einer zu TT2 senkrechten Geraden liegen. Die beiden Mantelgeraden des Kegels, welche durch diese
1) Im Gegensatz zu ~~ 14, wo die Konstruktion nicht einfach zu begründen ist.