Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

184 Erster Teil. Mongesche Methode mit Grund- und Aufriß. ~~ 31 —32.
und der Halbkugel angehört. Dazu kann man diese in Y liegende ebene
Figur um die durch M gehende Vertikale parallel zu TT2 drehen. Andererseits kann man auch den in E liegenden Halbkreis und den Lichtstrahl
um den von F ausgehenden horizontalen Durchmesser des Halbkreises
parallel zu 1TT drehen. In beiden Fällen findet man ganz einfach den
Schnittpunkt für die gedrehte Lage und durch Zurückdrehen die Projektionen für den gesuchten Schnittpunkt G.
Hat man so vom Halbkreis CGD den horizontalen Durchmesser CD
und den tiefsten Punkt (G, so ergeben sich die Projektionen des Halbkreises auf folgende Art. Sein Grundriß ist eine halbe Ellipse; C' und D
sind die Scheitel der großen Achse, G' ist der Scheitel der kleinen Halbachse. Sein Aufriß ist eine halbe Ellipse, wofür C" und D" Endpunkte
eines Durchmessers und G" der Endpunkt des dazu konjugierten Halbmessers sind.
Zweitens kann man den im Innern der Halbkugelschale als Schattengrenze auftretenden Halbkreis mit dem Durchmesser CD dadurch konstruieren, daß man seine Ebene oder eigentlich deren Neigungswinkel gegen
TT1 sucht.') Der Halbkreis ist ein Teil eines Kreisschnittes des zum Leitkreis k, gehörigen Zylinders von Lichtstrahlen. Dieser elliptische Zylinder
hat zwei Systeme von Kreisschnitten. Das erste wird durch Horizontalebenen geliefert, das zweite durch ein Parallelbüschel von Ebenen, die
auch auf der Symmetrieebene Z senkrecht sind und dabei mit der Zylinderachse denselben Winkel bilden wie die Horizontalebenen. Haben die
Lichtstrahlen den Winkel y, gegen TT1, so ist der eben genannte Winkel
auch y, oder die Ebenen des zweiten Systems von Kreisschnitten haben
gegen TT, den Neigungswinkel 3 = 2. y,. Daraus folgt wieder leicht der
Grundriß des tiefsten Punktes G des gesuchten Schattenhalbkreises und
der Höhenunterschied des Punktes G gegenüber dem horizontalen Durchmesser CD, hieraus der Aufriß von G. Die Konstruktion der beiden
Projektionen des Halbkreises ist schon besprochen. - Wenn man den
Winkel y, des Lichtstrahles gegen lTT früher zur Konstruktion des
Kreises k benutzt hat, dann ist das eben besprochene Verfahren nicht
umständlicher als eines der zuerst angegebenen.
~ 32. Angaben über die Anwendung krummer Hilfsflächen. Bisher wurden als Hilfsflächen zur Bestimmung der Durchdringungskurve
zweier krummen Flächen stets Ebenen verwendet. Ein Beispiel krummer
Hilfsflächen bietet Monge, indem er die Durchdringungskurve zweier beliebiger Rotationsflächen, deren Achsen sich schneiden, mittels Hilfskugeln
1) Der Lichtstrahl ist weniger steil als 45 o, d. h. der tiefste Punkt im Innern
der Halbkugel liegt im Schatten. Die Kenntnis des Neigungswinkels der Ebene, in
welche die Schattengrenze fällt, reicht demnach zur eindeutigen Bestimmung dieser
Ebene aus.