Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

~~ 30-31. XV. Abschnitt. Durchdringungen krummflächiger Körper. 183
Durchmesser CDs. Er schließt sich an die zur unteren Hälfte von k
gehörige linke Hälfte von k7 so an, daß beide Linien in den Punkten Cs
und D, gemeinsame Tangenten haben und zusammen ein Oval bilden,
dessen Tangente sich überall stetig dreht, dessen Krümmung nur in 0C
und D8 sprungweise wechselt.
Damit ist der Umriß des auf 1T7 fallenden Schattens erhalten. Man
zeichnet ihn am kürzesten, indem man den Schattenpunkt1) M. des Mittelpunktes M1 der Halbkugel sucht, durch M, eine Senkrechte zu t' zieht
und auf ihr C( und D, im Abstand r von Ms bestimmt. Dann wird der
Halbkreis über C8D, nach rechts hin gezeichnet und nach links die Halbellipse, welche Cs und D8 zu Scheiteln der kleinen Achse hat und deren
Brennpunkt der tiefste Punkt der Halbkugel ist (XIII. Abschn. ~ 5).
~ 31. Der Schatten im Innern der Halbkugel. Es bleibt noch der
Schatten zu bestimmen, welchen die links vom Durchmesser CD liegende
Hälfte des Randkreises k/ in das Innere der Halbkugel wirft. Dieser
Schatten wird begrenzt von der Durchdringungskurve der Halbkugel mit
der zylindrischen Fläche aller den schattenwerfenden Halbkreis streifenden
Lichtstrahlen. Diese Kurve braucht nicht näherungsweise aus einzelnen
Punkten bestimmt zu werden, sondern man kann ihre Natur sofort angeben und darauf die Konstruktion gründen.
Die vollständige Kugel und der vollständige schiefe Kreiszylinder
mit dem Leitkreis k7 und mit der Lichtrichtung als Achsenrichtung durch7
dringen einander in einer zerfallenden ne zflln Kurve vierter Ordnung, welche den
Kreis k7 als Teil enthält. Ihr anderer Teil ist demnach auch eine Kurve
zweiter Ordnung und zwar ebenfalls ein Kreis, da sie der Kugelfläche
angehört. Die Vertikalebene E, welche durch Mi parallel zur Lichtrichtung
geht und schon im XIII. Abschn. ~ 5 eingeführt wurde, ist Symmetrieebene für die Kugel und den Zylinder und deshalb für die Durchdringungskurve. Weiter erkennt man leicht, daß der neben kl als Teil der Durchdringungskurve auftretende Kreis zur Hälfte ilber, zur Hälfte unter der
Ebene von 71 liegt und ein größter Kugelkreis mit dem Durchmesser CD
ist. Seine auf der unteren Halbkugel liegende Hälfte begrenzt den im
Innern der Schale entstehenden Schatten.
Zur Konstruktion dieses Halbkreises mit dem Durchmesser CD gibt
es mehrere Wege:
Erstens kann man den Lichtstrahl verwenden, welcher durch die
Mitte F des schattenwerfenden Halbkreises hindurchgeht. Er liegt in der
Symmetrieebene Z und trifft die gesuchte Schattengrenze in ihrem tiefsten
Punkt G, in der Mitte dieses Halbkreises. G wird bestimmt als Schnittpunkt des Lichtstrahles mit dem Halbkreis, welcher zugleich der Ebene Z
1) Vgl. den VII. Abschn. ~ 7.