Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

~~ 27-29. XV. Abschnitt. Durchdringungen krummflächiger Körper. 181
vierter Ordnung mit einer vertikalen und einer horizontalen Symmetrieebene,
diese Ebenen schneiden einander im zweiten Projektionslot des Punktes Q.
Außer TT1 und TT1 benutzt man noch eine dritte Projektionsebene TT3, die
zu beiden anderen senkrecht ist, wie im vorigen Paragraphen. Genau wie
dort erhält man durch horizontale oder zu 1TT parallele Hilfsebenen Punkte
der Durchdringungskurve, auch die zugehörigen Tangenten ergeben sich
ziemlich leichtl). Besonders muß man sich die Punkte auf den Umrißlinien und ihre Tangenten schaffen. Dann gewinnt man ein genaues
Urteil über die Form der Kurve und ihrer drei Projektionen, wobei wieder
das Größenverhältnis der Radien von Kugel und Zylinder mitspricht. Der
Grundriß ist stets ein Parabelstück, wie die analytische Behandlung zeigt.
Nur der Kurvenaufriß hat einen Doppelpunkt. Für ihn lassen
sich die Tangenten leicht konstruieren. Denn man findet wie im vorigen
Paragraphen, daß die Raumkurve im Doppelpunkt Q zwei Schmiegungsebenen hat, welche zur Tangentialebene E der Kugel senkrecht stehen.
So hat jeder durch Q gehende Bogen der Raumkurve dort geodätischen
Charakter für die Kugel, oder sein Krümmungsradius für Q ist gleich
dem Kugelradius. Ebenso hat aber der Kurvenbogen bei Q auch geodätischen Charakter für die Zylinderfläche. Darum kann man mittels des
Eulerschen Satzes die Stellung der Schmiegungsebene zur Zylinderfläche
berechnen. Das führt zu einer einfachen Konstruktion der beiden Tangenten für den Doppelpunkt des Kurvenaufrisses.2)
~ 28. Über das Zerfallen der Durchdringungskurve zweier Kegel
(oder Zylinder) zweiter Ordnung. Nach ~ 13 ist die Durchdringungskurve im allgemeinen eine Raumkurve vierter Ordnung. Eine Erniedrigung
des Grades findet erstens dann statt, wenn beide Flächen eine gemeinsame
Mantelgerade besitzen. Dann zerfällt die Kurve vierter Ordnung in diese
Gerade und eine unikursale (rationale) Raumkurve dritter Ordnung, sofern
nicht ein weiteres Zerfallen eintritt. Zweitens ist das Zerfallen in zwei
ebene Kurven zweiter Ordnung zu nennen. Eine eingehende Untersuchung
dieser Fälle muß hier unterbleiben, obwohl gerade die rationalen Raumkurven dritter Ordnung sehr viel Interessantes bieten. Beispiele für
den Zerfall der Raumkurve in zwei Kegelschnitte bieten ~~ 29 und 31.
~ 29. Die Durchdringung zweier Zylinder, welche beim Kreuzgewölbe
auftritt. Zwei kongruente Rotationszylinder, deren Achsen sich recht1) Über Tangentialebenen der Kugel siehe VI. Absch. ~ 20 u. XVIII. Abschn. ~ 1.
2) Wenn der Zylinder eine Schraubenlinie trägt und wenn die Kugel die
Oskulationskugel dieser Schraubenlinie für den Punkt Q ist, dann findet man leicht,
daß die Tangente der Schraubenlinie für die Stelle Q zugleich Tangente des einen
Bogens der Durchdringungskurve am Doppelpunkt ist. Dadurch tritt auch im Aufriß eine dreipunktige Berührung in Q" auf (nicht etwa eine zweipunktige, denn es
handelt sich um eine gemeinsame Wendetangente).