Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

180 Erster Teil. Mongesche Methode mit Grund- und Aufriß. ~~ 26-27.
einem Doppelpunkt, mit einer horizontalen und einer vertikalen Symmetrieachse. In den Doppelpunkt fallen zwei Wendepunkte. Weiteres über die
Form der Aufrißkurve wird nachher gebracht.
Zur Konstruktion der Durchdringungskurve nimmt man eine Seitenrißebene TT, zu Hilfe, welche auf TT1 und T11 senkrecht steht. Dann ist
das Arbeiten mit horizontalen Hilfsebenen oder mit den in ~ 4 eingeführten
Hilfsebenen sehr einfach. Auch erhält man leicht die Tangentialebenen
beider Flächen in einem.gemeinsamen Punkt und daraus die Tangente
für diesen Punkt der Kurve. - Die Punkte der Kurve, welche dem ersten
oder zweiten Umriß der Zylinder angehören, soll man unbedingt bestimmen,
ebenso die zugehörigen Tangenten. Man sieht dann, daß der Kurvenaufriß
entweder 8-förmig ist mit zwei horizontalen Doppeltangenten und zwei
vertikalen einfachen Tangenten, oder daß er zwei horizontale Doppeltangenten,
zwei vertikale Doppeltangenten und zwei vertikale einfache Tangenten hat.
Außerdem gibt es noch einen Übergangsfall, welcher bei b -= -a eintritt und
leicht zu beschreiben ist. Im ersten Fall und im Übergangsfall gibt es nur
zwei Wendepunkte (im Doppelpunkt), im zweiten Fall kommen noch vier
Wendepunkte hinzu. (Von imaginären Singularitäten der Kurve im Aufriß wird hier natürlich ganz abgesehen.)
Wesentlich ist noch die Konstruktion der beiden Tangenten
im Doppelpunkt. Die Schmiegungsebene eines Punktes der räumlichen
Kurve bewegt sich nicht unstetig, wenn der Punkt auf einem der beiden
Kurvenbogen den Doppelpunkt überschreitet. Der Bogen besteht aber
aus zwei im Doppelpunkt zusammenstoßenden kongruenten Stücken. Hieraus - oder auf andere einfache Art -schließt man, daß die Schmiegungsebene des betrachteten Bogens für den Doppelpunkt hindurchgeht durch
die gemeinsame Normale beider Flächen. Wäre der Winkel bekannt,
welchen diese Schmiegungsebene mit einer Horizontalebene bildet, dann
könnte man aus dem Eulerschen Satz1) leicht den Krümmungsradius der
Durchdringungskurve für den Doppelpunkt berechnen, ausgehend von der
einen oder der anderen Zylinderfläche. Macht man nun diese beiden Ansätze zugleich mit dem noch unbekannten Winkel, dann entsteht eine
Gleichung zur Berechnung dieses Winkels. Das Ergebnis ist sehr einfach,
man erhält daraus die Tangenten für den Doppelpunkt des Kurvenaufrisses.
~ 27. Eine Durchdringungskurve mit Doppelpunkt, welche von einer
Kugel und einem Rotationszylinder gebildet wird. Der vorderste Punkt
Q der Kugel habe die Tangentialebene E. Der Zylinder sei vertikal,
berühre E in einer durch Q gehenden (eraden, liege hinter E und habe
kleineren Radius als die Kugel. Dann ist eine Durchdringungskurve mit
dem Doppelpunkt Q vorhanden. Sie ist eine unzerfallende Raumkurve
1) XII. Absch. ~ 1.