Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

~~ 24-26. XV. Abschnitt. Durchdringungen krummflächiger Körper. 179
ein Wendepunkt oder eine Spitze.') Hiermit ist auch alles Nötige gesagt
über die Orthogonalprojektionen auf Ebenen, die nicht durch P gehen.
~ 25. Anwendung auf die Projektionen einer Durchdringungskurve. Die eben ausgesprochenen Sätze zeigen, daß ein Wendepunkt
in einer Projektion nur dann möglich ist, wenn in dem zugehörigen
Raumpunkt P die Hauptnormale senkrecht zu der betreffenden Projektionsebene steht.') Dann tritt im allgemeinen auch wirklich ein Wendepunkt auf; eine höhere Singularität, eine mehr als dreipunktige Berührung
mit der Tangente, hat man nur bei verschwindender Torsion der Raumkurve
an dem Punkt P. Praktisch ist aber durch diese Uberlegung nichts gewonnen für die Konstruktion der Wendepunkte in den Projektionen der
Durchdringungskurve zweier krummen Flächen.2)
Damit die eine Projektion, etwa der Grundriß, der Durchdringungskurve eine Spitze hat, muß die Tangente im zugehörigen Punkt der
Raumkurve zu TT- senkrecht stehen, oder die Tangentialebenen beider
Flächen in diesem Punkt müssen vertikal sein. Die ersten Umrisse beider
Flächen werden im allgemeinen keinen gemeinsamen Punkt haben, deshalb
ist eine Spitze im Grundriß - und entsprechend im Aufriß -nur in
Ausnahmefällen möglich. Dabei läßt sich immer leicht entscheiden, ob
und wo eine Spitze auftritt. Aber konstruieren kann man nur die Rückkehrpunkte in beiden Projektionen und nicht ihren Tangenten. Denn diese
Tangenten hängen von den Schmiegungsebenen an den zugeordneten
Raumpunkten ab, und diese Schmiegungsebenen sind im allgemeinen nicht
konstruierbar.
~ 26. Über das Auftreten eines Doppelpunktes bei der 1)iirchdringungskurve. (Beispiel). Wenn zwei Flächen in einem Punkt ihrer Durchdringungskurve eine gemeinsame Tangentialebene haben, so ist dieser
Punkt ein Doppelpunkt der Durchdringungskurve. Ein Beispiel trat in
~ 23 auf, ein anderes soll jetzt betrachtet werden.
Ein senkrechter Rotationszylinder vom Radius a und ein wagrechter,
zu TT2 paralleler Rotationszylinder vom Radius b(< a) mögen eine gemeinsame zu 1TT parallele und vor beiden Flächen liegende Tangentialebene E haben. E berührt jede Fläche in einer Geraden. Der Kreuzungspunkt Q dieser Mantelgeraden ist der Doppelpunkt der Durchdringungskurve. Ferner sind die Ebenen, welche durch die zwei Geraden senkrecht
zu TT2 gehen, Symmetrieebenen der Durchdringungskurve. Der Grundriß der
Kurve ist ein Kreisbogen, der Aufriß ist eine Kurve vierter Ordnung mit
1) Die Voraussetzung, daß Krümmung und Torsion der Raumkurve für die
Stelle P beide nicht verschwinden, sei nochmals hervorgehoben.
2) In ~ 10 des XX. Abschnitts lassen sich auf dieser Grundlage die Wendepunkte
in den Projektionen der Schraubenlinie finden.
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