Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

178 Erster Teil. Mongesche Methode mit Grund- und Aufriß. ~ 24.
~ 24. Allgemeines über Wendepunkte und Spitzen in der Orthogonalprojektion einer Raumkurve. Für einen nicht singulären Punkt P einer
Raumkurve gibt es je eine bestimmte Tangente, Hauptnormale und Binormale. Diese drei zueinander senkrechten Geraden liefern drei Ebenen:
die Schmiegungsebene (Oskulationsebene), die Normalebene und die rektififizierende Ebene von P. Die Schmiegungsebene enthält die Tangente
und die Hauptnormale, die Normalebene enthält die Hauptnormale und
Binormale, die rektifizierende Ebene enthält die Tangente und die Binormale.
Die Kurve habe bei P weder verschwindende Krümmung, noch verschwindende Torsion. Dann hat sie mit der Schmiegungsebene eine dreipunktige Berührung an der Stelle P, sie durchsetzt dort die Schmiegungsebene. Mit allen anderen durch die Tangente von P gelegten Ebenen
hat sie in P nur eine einfache (zweipunktige) Berührung.
Projiziert man die Raumkurve orthogonal auf die Schmiegungsebene
von P, so haben die Projektion und die ursprüngliche Kurve an der
Stelle P gemeinsame Tangente und gemeinsamen Krümmungsradius, sie
oskulieren einander. Weiter hat die in der rektifizierenden Ebene liegende
Orthogonalprojektion der Kurve mit der ursprünglichen Kurve ebenfalls
die Tangente von P gemein, aber diese Tangente ist eine Wendetangente,
die Projektion hat in P die Krümmung 0. Drittens hat die Orthogonalprojektion von P auf die Normalebene folgende Eigenschaften: sie geht
durch P, hat P zur Spitze und wird in P von der Hauptnormale der
Raumkurve berührt. Diese Gerade trennt die beiden in der Spitze zusammenstoßenden Kurvenstücke. Das Linienelement der Raumkurve an
der Stelle P ist durch die Projektion unendlich verkürzt, ihm entspricht
der Rückkehrpunkt.
Beweise können hier nicht gegeben werden. Veranschaulicht werden
die Beziehungen z. B. recht gut durch das Modell einer Schraubenlinie,
welches außer der Kurve und ihrer Achse noch die Tangente, Hauptnormale und Binormale eines Punktes enthält; man hat das Modell nur
in den Richtungen dieser Geraden anzuschauen. Zur Not reicht auch
das Betrachten eines schraubenförmig gebogenen Drahtes oder eines Korkziehers aus, man soll lernen, an derartig primitiven Hilfsmitteln möglichst
viel zu sehen. - Von Christian Wiener sind im Brillschen, jetzt
Schillingschen Verlag acht Modelle für die Orthogonalprojektionen einer
Raumkurve (auf Parallelebenen zu den vorhin betrachteten drei Hauptebenen eines Kurvenpunktes) erschienen. Das erste Modell bezieht sich
auf den hier besprochenen Fall, die übrigen geben höhere, singuläre Fälle.
Bisher wurde nur die Orthogonalprojektion einer Raumkurve auf die
drei Hauptebenen eines ihrer Punkte behandelt. Projiziert man die Kurve
orthogonal auf irgend eine andere durch P gehende Ebene, so hat die
entstehende ebene Kurve in dem Punkt, welcher P entspricht, stets eine
endliche und von 0 verschiedene Krümmung, d. h. dieser Punkt ist niemals