Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

~ 23. XV. Abschnitt. Durchdringungen krummflächiger Körper. 177
~ 23. Über die Formänderung der Kurve bei Änderung der gegebenen Stücke in Fig. 100. Der in der Symmetrieebene Z liegende
Querschnitt des Zylinders trat nur nach der einen Seite und nur wenig
aus dem Kegel heraus. Deshalb war die Durchdringungskurve einteilig
und sie kreuzte die Symmetrieebene in nahe aneinanderliegenden Punkten
(was allerdings schlechte Schnitte mit sich brachte).
Wenn in E der Querschnitt des Zylinders die eine Mantelgerade des
Kegels nicht mehr schneidet, sondern berührt, so hat man eine Durchdringungskurve mit Doppelpunkt. Beide Flächen haben in diesem Punkt
eine gemeinsame Tangentialebene. Die Umformung der Kurve beim
Übergang vom vorigen Fall aus ist gut zu übersehen. Zwei Bogenstücke
der ursprünglichen Kurve nähern sich einander, kommen jedoch nicht zur
Berührung, vielmehr entsteht ein Doppelpunkt mit gekreuzten Tangenten,
was hier nicht bewiesen werden kann.
Verschiebt man den Zylinder noch etwas mehr nach hinten, so durchbohrt er den Kegel. Der Doppelpunkt hat sich aufgelöst, man hat eine
'zweiteilige Durchdringungskurve. Kommen dabei die beiden Kurventeile
einander noch ziemlich nahe, so werden die konstruierten Punkte und
Tangenten in dieser Gegend naturgemäß etwas unsicher durch spitze
Schnitte. Dann ist es besonders wichtig, in den Projektionen den
Kurvenverlauf mittels einer Geraden zu prüfen, die man an den
vorläufig gezeichneten Kurven als Tangente und als Sekante hinführt,
siehe ~ 13.
Im Falle der Fig. 100 hat der Kurvenaufriß zwei Doppelpunkte, und
oben rechts tritt eine ziemlich kleine Schleife auf, welche teils ausgezogen,
teils punktiert ist, entsprechend der Sichtbarkeit der Raumkurve in der:zweiten Projektionsrichtung. Wird der Zylinder etwas nach vorn gewälzt,
so hebt sich im Aufriß der tiefste Punkt der Schleife; die Schleife verkleinert sich und fällt schließlich fort. In diesem Übergangsfall hat man
eine Spitze, und die Kurve im Raum hat an der zugehörigen Stelle eine
zu TTH senkrechte Tangente. Näheres darüber enthalten die folgenden Paragraphen. Das Senkrechtstehen der Tangente zu TT2 bedeutet, daß die
Tangentialebenen beider Flächen für den eben genannten Raumpunkt zu
TT2 senkrecht sind. So kreuzt die Durchdringungskurve zugleich den
zweiten Umriß des Kegels und den des Zylinders. Daraus ergibt sich
erstens, für welche Stellung des Zylinders der Kurvenaufriß eine Spitze
bekommt, und zweitens ergibt sich, wo die Spitze liegt. - Es ist ziemlich leicht, die Form der Durchdringungskurve zu verfolgen, wenn der
Zylinder noch etwas mehr nach vorn gewälzt wird. Für das Konstruieren
wird man eine gegenseitige Lage der beiden Körper wählen, wo entweder
der Übergangsfall (mit der Spitze im Aufriß) eintritt oder wo die Nahbe
dieses Falles vermieden ist.
1. v. Dalwigk, darstellende Geometrie. I. 12