Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

~ 14. XV. Abschnitt. Durchdringungen krummflächiger Körper. 171
punkt, weil sie gemeinsamen Anfangspunkt und gemeinsame Mitte (auf g)
haben. Die gemeinsamen Punkte beider Kegelschnitte in E ordnen sich so
an, daß sie paarweise auf senkrechten Geraden liegen. Das heißt, es gibt
in E entweder keine oder eine oder zwei senkrechte Geraden, welche je
zwei Punkte der Durchdringungskurve enthalten. Die Grundrißspurpunkte
dieser senkrechten Geraden sind die (nicht isolierten) Doppelpunkte des
Grundrisses der Durchdringungskurve.
Nimmt man jetzt statt E eine dazu parallele Vertikalebene, dann hat
sie wieder mit jeder Fläche einen Kegelschnitt gemein, aber die Mittenorte vertikaler Sehnen dieser Kegelschnitte sind getrennte parallele Geraden. Man schließt daraus, daß es keine gemeinsamen senkrechten Sehnen
beider Kegelschnitte gibt. Außerhalb der Grundrißspur von E hat der
Grundriß der Durchdringungskurve niemals Doppelpunkte, auf der Grundrißspur von E kann es 0, 1, 2, reelle und nicht isolierte Doppelpunkte
geben.
Zur Konstruktion der beiden Diametralebenen, welche zu vertikalen
Sehnen der Flächen konjugiert sind, gelangt man so. Beim Kegel geht
die Diametralebene durch die Spitze und durch die Berührungsstellen von
irgend zwei vertikalen Tangenten. Man sucht die vertikalen Tangentialebenen des Kegels, oder genauer gesagt, sie sind schon vorhanden; der
Umriß der Grundrißprojektion des Kegels bestimmt sie. Unter allen
vertikalen Geraden einer solchen Tangentialebene gibt es eine, welche die
Kegelfläche in T1, berührt. Der Berührungspunkt ist ein Punkt der gesuchten Diametralebene, und man findet ihn sofort. Hiermit ist die Bestimmung der Diametralebene für den Kegel ini wesentlichen besprochen;
beim Zylinder ist alles ähnlich. Dann kommt man zur früher eingeführten
Geraden g und damit zur Grundrißspur von E. Ebenso findet man im
Aufriß die Gerade, welche die etwa vorhandenen Doppelpunkte der Aufrißkurve trägt.
Mehr läßt sich jedoch mit elementaren Hilfsmitteln nicht machen.
Die volle Bestimmung der Lage der Doppelpunkte in den Projektionen
unter Benutzung der projektiven Geometrie mag man bei Rohn-Papperitz
nachlesen.1) Dort sind auch außer den Doppelpunkten mit reellen Tangenten die isolierten und imaginären Doppelpunkte berücksichtigt. (Jede
Projektion der Durchdringungskurve hat zwei Doppelpunkte, sie können
reell sein oder konjugiert imaginär. Sind sie reell, dann gibt es 0, 1, 2
Doppelpunkte mit reellen Tangenten und die übrigen sind isolierte Doppelpunkte).
Alles in diesem Paragraphen Entwickelte hat i. w. theoretisches
Interesse; auf die etwas umständliche Konstruktion wird man meist verzichten.
1) 1. Aufl., Bd. I, S. 356-358, 361-362; 3. Aufl., Bd. I, S. 283-84, 287 ---88.