Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

170 Erster Teil. Mongesche Methode mit Grund- und Aufriß. ~~ 13-14.
Zur Prüfung der früher erhaltenen Kurvenprojektionen kann man
eine Gerade an ihnen so entlang führen, daß sie beständig eine Tangente
ist. (Stellungen der Geraden als Sekante sind daneben weniger wichtig.)
Dann erkennt man, ob immer die Bedingungen erfüllt sind. Als bewegte
Gerade dient mit Vorteil die Kante eines durchsichtigen Lineals oder ein
gespannter Faden. Überall, wo sich Widersprüche zeigen, die sich nicht
durch fehlerhafte Konstruktion aufklären, muß man die vorläufig gezogene Kurve so abändern, daß sie nicht mehr ganz durch die gefundenen
Punkte hindurchgeht und daß zugleich die Widersprüche verschwinden.
Wenn man mit den gegebenen Stücken von Fig. 96 in genauer Vergrößerung arbeitet, wird allerdings die Wiehtigkeit dieses Verfahrens
weniger hervortreten. Erst bei weniger günstigen Figuren, z. B. bei
selbst gewählten gegebenen Stücken und in einem Fall von ~ 23 kommt
sie recht zur Geltung.
~ 14. Die Doppelpunkte der Projektionen der Durchdringungskurve.
Die Raumkurve selbst hat im allgemeinen keinen Doppelpunkt (vgl.
~~ 23, 26 ff.). In den Projektionen können Doppelpunkte auftreten. Eine ebene
Kurve vierter Ordnung hat höchstens drei Doppelpunkte, doch läßt sich
nachweisen, daß der Grundriß oder der Aufriß der Durchdringungskurve
zweier Kegel oder Zylinder der zweiten Ordnung höchstens zwei Doppelpunkte
besitzt. Es genügt, dies für den Grundriß zu besprechen. Dabei wird an
die Fig. 96 angeknüpft, obwohl die Betrachtung allgemein gilt.
Ein Doppelpunkt in der Grundrißprojektion entsteht dadurch, daß
zwei Punkte der Raumkurve auf einer Senkrechten liegen.1) Ihre Verbindungsstrecke ist eine gemeinsame vertikale Sehne beider Flächen. Das
führt zur Betrachtung der vertikalen Sehnen für jede einzelne Fläche.
Die Mitten paralleler Sehnen einer Fläche zweiter Ordnung liegen auf der,zur Sehnenrichtung koujugierten" Diametralebene. Man denkt sich für
den Kegel und den Zylinder die Diametralebenen bestimmt, welche zu senkrechten Sehnen gehören.2) Die Schnittlinie beider Ebenen heiße g, die
Vertikalebene durch g sei E. E schneidet die erste Fläche in einer Kurve
zweiter Ordnung, für welche die Mitten aller senkrechten Sehnen auf y
liegen. Das Gleiche gilt von der Schnittkurve mit der zweiten Fläche.
Die beiden Kurven in E haben nun 0, 2 oder 4 reelle Punkte gemein
(wenn man von den Berührungsfällen absieht, die ebenfalls leicht zu erledigen sind). Ein solcher gemeinsamer Punkt wird betrachtet. Von ihm
gehen eine vertikale Sehne des ersten und eine vertikale Sehne des zweiten
Kegelschnitts aus. Dabei haben die beiden Sehnen gemeinsamen End1) Liegen die zugehörigen Tangenten der Raumkurve nicht in derselben Vertikalebene, dann hat man im Grundriß einen Doppelpunkt mit getrennten Tangenten.
2) Auf die Konstruktion wird später eingegangen, S. 171 Mitte.