Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

~~ 12-13. XV. Abschnitt. Durchdringungen krummflächiger Körper. 169
kurve nahe bei R. Dieser Kreuzungspunkt gehört einer Mantelgeraden
des Zylinders an, deren Grundrißspurpunkt zwischen K und G liegt, was
man ohne weiteres sieht. Ein dem R benachbarter und auf dem von
oben sichtbaren Teil des Kegelmantels befindlicher Punkt der Durchdringungskurve liegt demnach weiter rechts als R.
Noch kürzer findet man dies, indem man das bei R liegende Bogenelement der Durchdringungskurve als Stück der Tangente des Punktes R
auffaßt. Der Spurpunkt der Tangente ist ein Punkt von S'I und zwar
zwischen R' und I. Deshalb liegt ein unendlich kleines, von R nach
oben und nach rechts gehendes Linienelement der Tangente auf der von
oben sichtbaren Kegelfläche.
Solche Überlegungen sind vielfach recht vorteilhaft, um den Verlauf
einer Kurve vorläufig abzuschätzen oder eine gezeichnete Kurve zu prüfen.
Beim letzten Verfahren muß man freilich vorsichtig sein; zuweilen kreuzt
die Durchdringungskurve eine Gerade des ersten Umrisses so, daß sie im
Fallen auf den von oben sichtbaren Teil der Mantelfläche übergeht. Aber
das Verfahren führt immer zum Ziel.
Im vorhergehenden wurden ein Stück der Durchdringungskurve und
die zugehörige Grundrißprojektion ausführlich behandelt. Damit ist alles
wesentliche über die Kurve und ihre Projektionen gesagt. Über den am
weitesten links liegenden Teil des Kurvenaufrisses gewinnt man am
schnellsten ein Urteil durch die Prüfung, wie die Umrißgerade SN des
Kegels zu der linken Geraden des zweiten Zylinderumrisses liegt. (SN liegt
bei der scheinbaren Kreuzung für die zweite Projektionsrichtung weiter vorn).
~ 13. Die Ordnung der Durchdringungskurve und ihrer Projektionen,
Folgerungen über die Kurven. Weil es sich um zwei Flächen zweiten
Grades handelt, ist die Durchdringungskurve im allgemeinen eine Raumkurve vierter Ordnung, und ihre Projektionen sind ebene Kurven vierter
Ordnung. Im Falle der Figur, wo eine zweiteilige Durchdringungskurve auftritt, sind demnach die beiden im Grundriß erhaltenen geschlossenen Linien zusammengenommen eine ebene Kurve vierter Ordnung, und haben zusammengenommen mit einer Geraden höchstens vier
Punkte gemein. Das gibt wichtige Anhaltspunkte für die Zeichnung,
z. B. darf eine Wendetangente des einen Kurvenzweiges den anderen Zweig
nicht treffen. Ebenso darf, wenn in einer Projektion zwei Doppelpunkte
vorkommen, ihre Verbindungslinie keine weiteren Punkte mit der Kurve
gemein haben. - Entsprechendes gilt für die Aufrißprojektion der Durchdringungskurve.
In Fig. 96 ist nur ein Halbkegel, kein vollständiger Kegel benutzt.
Dennoch sind die gezeichneten Projektionen der Durchdringungskurve
vollständige ebene Kurven vierter Ordnung, der weggelassene Halbkegel
trifft den Zylinder nicht.