Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

166 Erster Teil. Mongesche Methode mit Grund- und Aufriß. ~~9-10.
fallen.') So hat man im Raum eine Kreuzung der Kurve mit der Geraden
SI des Kegels, während der Kurvengrundriß die Gerade S'I berührt.
Von höheren Singularitäten, welche im Falle der Figur nicht auftreten,
ist hier und in ~~ 6, 7 ganz abgesehen. Näheres folgt in ~~ 24, 25.
~ 10. Der Verlauf der Durelhdringungskurve durch die gefundenen
Punkte. Es ist noch zu besprechen, wie man durch die einzelnen Punkte
die Kurve legt, d. h. in welcher Reihenfolge die Punkte zur Kurve zu
verbinden sind. Man hat die Spuren der ausgezeichneten Hilfsebenen und
weiterer nach Bedarf eingeschalteter Hilfsebenen. Jeder allgemeinen Hilfsebene entspricht eine Gruppe von vier getrennten Kurvenpunkten; bei
einem Teil der besonderen Hilfsebenen fallen Paare von Punkten zusammen (im Falle von ~ 6, nicht in dem von ~ 7). Man denkt sich, daß
eine Ebene die verschiedenen Lagen aller möglichen Hilfsebenen durchläuft. Wenn die Ebene bei dieser Bewegung mit einer tatsächlich
benutzten Hilfsebene identisch wird, greift man einen der vier dieser
Lage zugehörigen Kurvenpunkte heraus und faßt die durch ihn hindurchgehenden Mantelgeradle der beiden Flächen ins Auge. Dreht sich
dann die bewegte Ebene weiter, bis sie mit der nächsten benutzten
Hilfsebene zusammenfällt, so weiß man, in welche Lage die vorher erhaltenen Mantelgeraden übergegangen sind und weiß damit, welcher unter
den konstruierten Kurvenpunkten der nächste für den durch die Drehung
der Ebene gegebenen Durchlaufungssinn der Kurve ist.
Das mag für ein bestimmtes Stück der Durchdringungskurve näher
erläutert werden.2) Der erste Umriß des Zylinders enthält zwei Mantelgeraden. Die links gelegene unter ihnen, g, bestimmt mit S eine Ebene,
welche den Kegelmantel in den Geraden h7 und h, schneidet. Die Schnittpunkte Q, und Q2 von g mit hr und h2 sind die Kreuzungsstellen der
Durchdringungskurve mit g. Ihnen entsprechen im Grundriß Berührungspunkte, siehe ~~ 7, 9. In der Figur sind die Grundrißspurpunkte von 7h
und h2 und die Punkte Q', Q' durch kurze Striche angeschnitten, aber
nicht bezeichnet. Nur die eine der Linien h, und h2 liegt auf dem von
oben sichtbaren Teil des Kegelmantels, diese sei h,. Dann ist Q1 von
oben sichtbar, Q2 von oben unsichtbar; Q, liegt höher als Q9.
Eine Ebene des Büschels mit der Achse SU gehe durch einen Punkt
auf dem Basiskreis des Kegels, welcher anfangs mit dem Spurpunkt von
h1 identisch ist und sich dann über M, F' und I nach dem Spurpunkt
von i^2 bewegt. Die eine Schnittlinie der Ebene mit dem Kegelmantel,
welche anfangs mit r1, zusammenfällt, geht hierbei stetig in die Lage von
h2 über. Die eine Schnittlinie mit dem Zylinder, welche anfangs mit g
1) Aus der Stellung der Tangente des ersten Schnittpunktes wird in ~ 12 noch
eine wichtige Folgerung gezogen (S. 169, Zeile 6ff.).
2) Dieses Kurvenstück wird in ~ 12 noch weiter betrachtet.