Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

~~ 7-9. XV. Abschnitt. Durchdringungen krummflächiger Körper. 165
Umriß der Zylinderprojektion. Die Konstruktion ist ganz entsprechend,
nur für einen der auf "S'N" liegenden Berührungspunkte ist sie eingezeichnet.
~ 8. Rückblick und weitere Angaben über die Wahl der Hilfsebenen. Im vorhergehenden ist zuerst eine Hilfsebene von allgemeiner
Lage betrachtet worden; dann wurden die besonderen Hilfsebenen besprochen, welche zu den Berührungspunkten der Durchdringungskurve mit
Mantelgeraden führen oder zu Kreuzungspunkten mit dem ersten oder
zweiten Umriß der Flächen und damit im allgemeinen zu Berührungen
in der ersten oder zweiten Projektion. Die Bestimmung derartiger ausgezeichneter Punkte darf nie unterbleiben, man beginnt sogar am besten
damit. Dann hat man in der Figur eine Anzahl Grundrißspuren dieser
ausgezeichneten Hilfsebenen, und man sucht für jede solche Ebene alle
in ihr liegenden Punkte der Durchdringungskurve. Z. B. bestimmt man
nicht nur die Kreuzungsstellen der Kurve mit SI (s. ~ 7), sondern man
findet in derselben Hilfsebene ohne nennenswerte Mehrarbeit noch zwei
andere Kurvenpunkte auf einer zweiten Mantelgeraden SäM des Kegels. -
Weiter schaltet man nach Bedarf neue Spuren von allgemeinen Hilfsebenen
ein, wodurch dann jedesmal vier Punkte der Durchdringungskurve erhalten
werden.1) Eine geringe Anzahl solcher Hilfsebenen ist meist ausreichend,
besonders, wenn man für einzelne dazu geeignete Punkte der Kurve die
Tangenten konstruiert. Wie man den Überblick über den Verlauf der
Kurve gewinnt, wird in ~~ 10-12 ausgeführt.
~ 9. Die Bestimmung der Tangente für einen Punkt der Durchdriingungskurve. Die Gerade, welche die Kurve im Punkt P berührt,
liegt in den zu P gehörigen Tangentialebenen beider Flächen. Der Grundrißspurpunkt T1 der Tangente ist deshalb der Schnittpunkt der beiden
Grundrißspuren dieser Tangentialebenen; die Konstruktion dieser Spuren
ist früher besprochen (VI. Abschnitt ~~ 11, 16). In der Figur ist die
Kurventangente für den Schnittpunkt P von SA mit der von D ausgehenden Mantelgeraden des Zylinders konstruiert.
Es ist wichtig, für die in ~~ 6, 7 betrachteten besonderen Fälle die
Tangentenkonstruktion durchzudenken. Der Schnittpunkt der Mantelgeraden SF und der von G (oder H) ausgehenden Mantelgeraden des
Zylinders hat eine Tangente mit dem Grundrißspurpunkt G (oder H).
Das entspricht der in ~ 6 auf andere Art gefundenen Berührung der
Kurve mit Mantelgeraden des Zylinders. Weiter haben die Schnittpunkte
von SI mit den von K und L ausgehenden Mantelgeraden des Zylinders
Tangenten, deren Grundrißspurpunkte auf die (unbegrenzte) Gerade S'I
1) Alle konstruierten Punkte beider Kurvenprojektionen hebt man mit Vorteil
dadurch hervor, daß man (freihändig) kleine Kreise um dieselben zeichnet.