Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

164 Erster Teil. Mongesche Methode mit Grund- und Aufriß. ~~ 5-7.
gezeichnete Hilfsebenen werden in ~~ 6, 7 betrachtet, in ~ 8 folgen Angaben über die Auswahl der Hilfsebenen für- die Konstruktion.
~ 6. Die Beriihrungsstellen der Durchdringungskurve mit Mantelgeraden. Die beiden Tangenten von U aus an den Grundkreis des Kegels
schneiden hier den Grundkreis des Zylinders; darauf beruht nach ~ 3,
daß der Kegel durch den Zylinder hindurchdringt. Die Hilfsebene durch
die Tangente UF hat mit dem Kegel die Mantelgerade SF als doppelt
zählende Gerade und mit dem Zylinder die von G und von H ausgehenden
Mantelgeraden gemein. Dadurch entstehen nach dem Schluß von ~ 3 die
zwei Punkte, in denen die Durchdriingungskurve von den zu G und H
gehörigen Mantelgeraden des Zylinders berührt wird. Diesen Punkten
entsprechen im Grund- und Aufriß Berührungsstellen der Projektionen
der Durchdringungskurve mit den Projektionen der zwei Mantelgeraden.
Die Konstruktion ist in der Figur im Grundriß und im Aufriß vollständig eingetragen; man arbeitet dabei in jeder Projektion unabhängig
von der anderen, wie oben angegeben ist. - Entsprechend liefert die
zweite von U an den Basiskreis des Kegels gezogene Tangente die beiden
übrigen Mantelgeraden des Zylinders, welche die Durchdringungskurve berühren, und auch die zugehörigen Berührungsstellen.
~ 7. Die Berührungsstellen der Kurvenprojektionen mit Umrißgeraden im Grund- oder Aufriß. Weiter sind noch die Stellen wichtig,
in denen die Durchdringungskurve den ersten oder den zweiten Umriß des
Kegels oder des Zylinders durchkreuzt. Eine Kreuzungsstelle mit dem
ersten Umriß des einen Körpers hat zum Grundriß in allgemeinen eine Berührungsstelle der Projektion der Durchdringungskurve mit dem Grundriß des betreffenden Umrisses.') Stellen dieser Art findet man so: Die
Mantelgerade SI gehört dem ersten Umriß des Kegels an. Die Schnittpunkte K und L von UI mit dem Basiskreis des Zylinders liefern die
zwei Mantelgeraden des Zylinders, welche SI schneiden, vgl. ~ 2. Die
Grundrisse der beiden Schnittpunkte sind Berührungsstellen für den Grundriß der Durchdringungskurve und den Umriß des Kegelgrundrisses. Ebenso
lassen sich die beiden anderen Berührungspunkte des Grundrisses der
Durchdringungskurve mit diesem Umriß finden; dafür ist die Konstruktion
in der Figur nicht eingetragen. Beim Zylinder trifft nur die eine der zu
seinem ersten Umriß gehörenden Mantelgeraden den Kegel, und deßhalb
hat der Grundriß der Kurve nur zwei Berührungsstellen mit dem Umriß
der Grundrißprojektion des Zylinders. Die Bestimmung dieser Punkte
bietet nichts neues, die Konstruktion ist teils eingetragen (für ~~ 10, 12).
Der Aufriß der Durchdringungskurve hat vier Berührungspunkte mit
dem Umriß der Kegelprojektion und zwei Berührungspunkte mit dem
1) Vgl. den XI.-XIII. Abschn. Ein singulärer Fall wird in ~ 25 besprochen.