Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

~~ 4-5. XV. Abschnitt. Durchdringungen krummflächiger Körper. 163
~ 4. (Grenzfälle, wo ein Kegel durch einen Zylinder ersetzt ist,
oder wo zwei Zylinder vorliegen. Überblick iiber die jetzt folgenden
Anwendungen (~~ 5-23). Ein Zylinder läßt sich als Grenzfall eines
Kegels für ins Unendliche hinausrückende Spitze auffassen; dadurch läßt
sich die eben für zwei Kegel zweiter Ordnung besprochene Methode
auf die Fälle übertragen, bei denen ein Kegel und ein Zylinder oder zwei
Zylinder zweiter Ordnung gegeben sind. Das System der Hilfsebenen,
welche jede der zwei Flächen in zwei Mantelgeraden schneiden, gehört
im Fall von Kegel und Zylinder dem Ebenenbüschel an, dessen Träger
durch die Kegelspitze parallel zur Zylinderachse geht; im Fall von zwei
Zylindern gehört das System der Hilfsebenen einem Parallelbüschel an,
alle Ebenen sind zu beiden Zylinderachsen parallel.
Das hiermit für zwei Kegel oder Zylinder in seinen Grundzügen besprochene Verfahren soll nun an mehreren Beispielen niher durchgeführt
werden. Das erste Beispiel, bei dem alles Wesentliche ausführlich besprochen wird, umfaßt ~~ 5-16. Dann folgen weitere Aufgaben mit
kürzerem Text und mit gegebenen Stücken zu einer guten Figur. Es ist
recht wichtig, einmal eine solche Aufgabe vollständig durchzuführen.
In ~~ 20-23 wird eine wichtige Aufgabe behandelt, bei welcher das in
~~ 2-4 entwickelte Verfahren mit der Anwendung von Hilfsebenen
anderen Charakters verbunden wird. Daran schließen sich in ~~ 24, 25
Betrachtungen über Wendepunkte und Spitzen in den Projektionen einer
Durchdringungskurve. Auf die weiteren Teile des Abschnittes werde jetzt
nicht eingegangen.
~ 5. Die Durchldringung eines Kegels und eines Zylinders, wenni
beide Basiskurven in TT1 liegen. In Fig. 96, Taf. VI sind ein schiefer
Kreiskegel und ein schiefer Kreiszylinder gegeben, beide Basiskreise liegen
in TTi. Man legt durch die Kegelspitze eine Gerade parallel zur Achse des
Zylinders und bestimmt ihren Grundrißspurpunkt U. Jede Gerade in TTI,
welche durch U geht und beide Basiskurven trifft, ist die Grundrißspur
einer Hilfsebene der früher betrachteten Art. In der Figur ist eine solche
Gerade gezeichnet, welche die Kegelbasis in A und B, die Zylinderbasis
in C und D schneidet. Daraus ergeben sich die beiden Mantelgeraden
SA und SB des Kegels und die von C und D ausgehenden Mantelgeraden des Zylinders. Diese zwei Paare von Mantelgeraden liegen in
der Hilfsebene, und ihre vier gemeinsamen Punkte gehören der Durchdringungskurve an. Man bestimmt für jeden dieser vier Punkte beide
Projektionen am besten unabhängig voneinander und hat selbstverständlich
zu prüfen, ob die erhaltenen Projektionen eines und desselben Punktes
senkrecht übereinander liegen.
Hiermit ist der Grundgedanke für die Konstruktion gegeben. Aus11*