Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

~~ 2-3. XV. Abschnitt. Durchdringungen krummflächiger Körper. 161
~ 2. Die Durchdringung von zwei Kegelflächen, bestimmt mittels
Hilfsebenen durch die Kegelspitzen. Von zwei Kegeln zweiter Ordnung
sind die Spitzen, die Basisebenen und die Basiskurven gegeben (Skizze in
Fig. 95, Taf. VI).1) Die Verbindungslinie von Sn und S, schneidet die beiden
Basisebenen in den Punkten U und V. Eine Hilfsebene durch S, und S2,
welche beide Kegel schneidet, hat mit jedem ein Paar von Mantelgeraden
gemein und schneidet die beiden Basisebenen in Geraden UQ und VQ.
Diese Geraden treffen die Basiskurven in Punkten A und B, bzw. C und D;
das sind die Endpunkte der beiden Paare von Mantelgeraden, die in der
Hilfsebene liegen. Die vier gemeinsamen Punkte dieser zwei Geradenpaare sind die vier in der Hilfsebene liegenden Punkte der Durchdringungskurve beider Kegel.
Häufig ist es nötig, die beiden Punkte der Durchdringungskurve zu
bestimmen, welche einer gegebenen Mantelgeraden des einen Kegels angehören. Ist diese Mantelgerade StA, so liefert UA den Punkt Q und
damit die Gerade QV; daraus findet man SC und S21D, und deren
Schnittpunkte mit S1A sind die gesuchten zwei Punkte.
Das Verfahren ist natürlich nicht an Kegelflächen von 2. Ordnung
gebunden, aber es ist im folgenden ausreichend und vorteilhaft, sich darauf
zu beschränken. - Oft genügt es, nur Halbkegel zu nehmen.
~ 3. Fortsetzung. Ubersicht über die verschiedenen Fälle. Die
benutzten Hilfsebenen enthalten die Verbindungslinie von S, und S2, und
sie müssen mit beiden Kegelflächen gerade Linien gemein haben. Wenn
jede Kegelspitze im Innern des anderen Kegels liegt, dann sind alle
Ebenen des Büschels mit der Achse S1S2 solche Hilfsebenen. Sobald
aber wenigstens beim einen Kegel die Spitze außerhalb des anderen Kegels
liegt, gibt es im Büschel Ebenen, welche nicht mit beiden Flächen
Geraden gemein haben. Dann bildet die Gesamtheit der Hilfsebenen nur
einen Teil des Büschels. Dieser Fall soll jetzt näher untersucht werden.
Der andere Fall wird überhaupt nicht weiter betrachtet, er bietet übrigens
keine besonderen Schwierigkeiten.
Wenn eine Ebene durch S1S2 beide Kegelflächen in je zwei Geraden
schneidet und wenn bei einer Drehung die Schnittgeraden mit dem einen
Kegel wegfallen, dann ist klar, daß hierbei die Ebene zunächst zur
Tangentialebene wird. Darum gibt es unter den Hilfsebenen zwei
äußerste Lagen, wo der eine Kegel berührt, der andere noch geschnitten
1) In der parallelperspektivischen Figur ist die Bildebene senkrecht zu den beiden
Basisebenen gewählt, und es sind rechteckige Stücke beider Basisebenen dargestellt. Die
Kegel sind allgemeine elliptische Kegel. Von einer Eintragung der Durchdringungskurve in das Bild wurde abgesehen. Die Figur wäre dadurch nicht deutlicher geworden.
F. v. Da 1 w i g k, darstellende Geometrie. I. 11