Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

~ 9. XIV. Abschnitt. Durchdringungen zweier ebenflächiger Körper. 159
Weil die Basisflächen keinen Punkt miteinander gemein haben und
weil S außerhalb der oberen Prismenfläche liegt, so liegen etwa vorhandene gemeinsamen Punkte beider Körperoberflächen ganz innerhalb der
Mantelflächen. Man schafft sich zunächts wieder einen genaueren Überblick über die gegenseitige Lage der Körper. Die Prismenkante AA1
liegt ganz außerhalb der Pyramide, wie der Grundriß zeigt, ferner läuft
die Pyramidenkante SF über CC, und auch über BB1 hin, sie bleibt
außerhalb des Prisma. CC, aber läuft über SD her, d. h. geht zwischen
SD und SF hindurch. Es findet wirklich eine Durchdringung statt, und
bei jedem Körper bleibt eine zwischen zwei Mantelflächen liegende
Kante außerhalb des anderen Körpers, d. h. die Körper dringen ineinander
ein, ohne daß einer den anderen durchbohrt. Die Durchdringungslinie
ist ein einziges geschlossenes unebenes Polygon.
Weiter erkennt man leicht, daß die Prismenflache ABB A1 und die
Pyramidenfläche SDE einander schneiden. Man braucht sich dazu nur
die Lage der Grundrißprojektionen und die räumliche Lage beider Flächen
vorzustellen. Die Bestimmung der Schnittlinie erfolgt nach dem II. Abschnitt ~ 8; vgl. den XI. Abschnitt ~ 17. Man findet zuerst die
Schnittlinie der Ebenen beider Flächen, davon ist das in beiden Flächen
selbst enthaltene Stück die Schnittstrecke der Flächen. Man sieht, daß
die Endpunkte dieser Strecke auf den Pyramidenkanten SD und SE und
ganz im Innern der Prismenfläche ABB1A1 liegen. Eine der anstoßenden
Seiten des Durchdringungspolygons beginnt deshalb auf SD und ist die
Schnittstrecke von ABB1A1 mit SDF. Sie wird entsprechend bestimmt;
ihr Endpunkt liegt auf BB1, und nman kennt damit wieder die beiden
Flächen, in denen die nächste Seite des Polygons verläuft. Die zweite
Seite des Polygons hat mit der ersten einen Punkt der Kante SD gemein,
das liefert in jeder Projektion eine Probe.
In dieser Art fährt man fort. Man hat zu jeder neuen Seite des
Polygons eigentlich drei Punkte, den Endpunkt der vorhergehenden Seite,
den Grundrißspurpunkt und den Schnittpunkt mit der Horizontalebene,
welche die obere Prismenfläche und die Pyramidenspitze enthält. Wenn
also einer der beiden zuletzt genannten Punkte unzugänglich ist, so kann
man trotzdem die Seite bestimmen. Nur wenn beide unzugänglich oder
durch schlechten Schnitt unsicher werden1), hat man den Endpunkt der
Seite nach irgend einem anderen Verfahren zu bestimmen, manchmal am
einfachsten als Anfangspunkt der nächstfolgenden Seite, falls man durch
rohe Abschätzung der Lage der gesuchten Seite schon weiß, in welchen
Flächen die nächste Seite liegt. Die Figur ist so eingerichtet, daß solche
Fälle vorkommen (bei der fünften und der letzten Polygonseite). -Wie
1) Der Grundrißspurpunkt und der Spurpunkt in der horizontalen Hilfsebene
werden natürlich gleichzeitig durch schlechten Schnitt unsicher.