Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

~ 6-7. XIV. Abschnitt. Durchdringungen zweier ebenflächiger Körper. 157
dieser Fläche, sie ist deren Schnittlinie mit der an SB grenzenden Tetraederfläche SBC. Der Endpunkt 3 dieser Schnittlinie liegt nicht auf SC
oder BC, weil diese Geraden das Prisma gar nicht treffen (er liegt auch
nicht auf SB, weil der Anfangspunkt der Linie 23 auf SB liegt). Er
bleibt also gewiß im Innern des Dreiecks SBC und liegt deshalb auf
einer der Längskanten der Prismenfläche EDD1Et. Von diesen beiden
Kanten scheidet DD1 aus, weil sie das Tetraeder nicht trifft, es bleibt
nur EEk übrig. Damit ist der Endpunkt 3 der zweiten Seite als der
Schnitt von EE1 mit der Tetraederfläche SBC gefunden.
In ähnlicher Weise findet man der Reihe nach die übrigen Eckpunkte
des Polygons, z. B. ergibt sich 4 noch im Innern, 5 aber auf dem Rande
der Fläche SBC.
Beim Ausziehen der Seiten sind einige Proben zu beachten: Die
Seiten 1 2 und 5 6 des Durchdringungspolygons liegen beide in der Tetraederfläche SAB, außerdem liegt die eine in EDD)Ei1, die andere in DFFiE1.
Diese drei Ebenen bilden ein Dreikant, demnach treffen sich ihre Schnittlinien, die verlängerten Linien 1 2, 56 und DD1 in einem Punkt. Daher
müssen die verlängerten Grundrisse von 12 und 56 sich auf D)'Dl' treffen,
ebenso die verlängerten Aufrisse dieser Linien auf D"D)". Ahnlich
schneiden sich 23 und 4 auf DD, und 81 und 34 auf SB; weitere
Proben erhält man auf diese Art nicht.
Die Seite 12 liegt bei jedem Körper in einer von oben und von
vorn sichtbaren Fläche, dasselbe gilt von der Seite 23. Die Seite 3 4
dagegen liegt beim Tetraeder in einer von oben und von vorn sichtbaren,
beim Prisma in einer nur von oben sichtbaren Fläche. Darum sind Grundund Aufriß von 12 und von 23 stark auszuziehen, ebenso der Grundriß
-von 34, der Aufriß von 34 aber ist zu punktieren. Entsprechendes gilt
für die übrigen Seiten des Durchdringungspolygons.
~ 7. Abgeändertes Verfahren. Oben war der Eckpunkt 1 als Schnittpunkt von EE1 mit SAAB gefunden, und weil man schon den vollen Überblick hatte, welche Kanten jedes Körpers den anderen Körper treffen und
welche Flächen sie treffen, so ließ sich der Endpunkt der ersten Seite der
Durchdringungsfigur sofort angeben. Häufig ist es mühsam, sich diesen
Überblick zu schaffen und dann kann man so vorgehen:
Der Punkt 2 gehört der Schnittlinie der Ebenen von EDD1EIZ und
SAB an. Diese Linie geht durch den schon bekannten Punkt 1 und ist
darum bestimmt, sobald man noch irgend einen Punkt von ihr kennt, z. B.
den Schnittpunkt der Kante DD, mit der Ebene von SAB. Diesen Punkt
konstruiert man, er liegt außerhalb der Dreiecksfläche SAB. Demnach ist
von seiner Verbindungsstrecke mit 1 nur der Teil, welcher zugleich den
beiden begrenzten Flächen EDD uE, und SAB angehört, Seite des Durchdringungspolygons. Dadurch findet man, daß diese Seite auf SB endet, und