Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

150 Erster Teil. Mongesche Methode mit Grund- und Aufriß. ~~ 9-10.
Rotationsellipsoid (XVIII. Abschn. ~ 4) und im Abschnitt über Kartenprojektionen (XXI. Abschn.) bei der allgemeinen gnomonischen Projektion.
Drittens läßt sich die Schattenellipse zeichnen aus den Scheiteln der
großen Achse und den Brennpunkten. Bringt man den Kegel zum
Schnitt mit der unteren horizontalen Tangentialebene der Kugel, dann hat
diese Schnittellipse die Berührungsstelle der Tangentialebene zum Brennpunkt (Satz von Quetelet-Dandelin, XII. Abschn. ~ 5). Wegen der Ahnlichkeit paralleler Schnitte durch den Kegel liegt der eine Brennpunkt der
in iT, auftretenden Schattenellipse auf der Geraden durch L und den
tiefsten Punkt der Kugel. Der andere Brennpunkt entspricht ebenso dem
höchsten Punkt.
Der parabolische Fall des in TT1 liegenden Schattens erfordert
keine Besprechung. Man kommt auf den Scheitel, die Hauptachsenrichtung und auf eine zur Hauptachse senkrechte Parabelsehne oder statt
dieser Sehne auf den Brennpunkt.
Im hyperbolischen Fall wird der ins Unendliche gehende Schatten
vom einen Zweig einer Hyperbel umgrenzt. Die Hauptachse der Hyperbel
ist die Spur von Z. Die beiden Hyperbelscheitel liegen auf den Geraden,
welche L mit dem höchsten und tiefsten Punkt der Lichtgrenze verbinden.
Weiter findet man wie bei der Ellipse die Endpunkte einer zur Hauptachse senkrechten Sehne oder die Brennpunkte. Damit ist die Hyperbel
völlig bestimmt. Fürs Zeichnen einer Hyperbel sind aber die Asymptoten immer wesentlich, und man soll sie nicht beiläufig, sondern unmittelbar bestimmen, sobald dies möglich ist. Dazu dient der Satz, daß
parallele hyperbolische Schnitte durch einen Kegel parallele Asymptoten
haben (vgl. XII. Abschn. ~ 15). Von diesem Satz macht man in dem
Grenzfall Gebrauch, wo der zweite ebene Schnitt durch den Kegelmittelpunkt L geht. Die Horizontalebene durch L schneidet die Kugel in einem
Kreis und den Kegel in den beiden von L an diesen Kreis gehenden
Tangenten. Zu diesen Geraden sind die Asymptoten der in 1TT liegenden
Hyperbel parallel. Es genügt schließlich, den einen Hyperbelzweig aus
den Asymptoten und dem Scheitel zu zeichnen.
Bisher wurde der Fall besprochen, wo Z zu TT2 parallel ist. Bei
allgemeiner Lage von L kann man mit einem zu 5 parallelen Seitenriß arbeiten oder das in ~ 8 entwickelte Drehungsverfahren anwenden.
~ 10. Anwendung einer Kugel bei der Darstellung eines Rotationskegels in allgemeiner Lage. Nun kann auch die früher genannte Aufgabe1) gelöst werden: in den beiden Projektionen des auf einer geneigten
Ebene E stehenden Rotationskegels die Stellen genau anzugeben, in welchen
1) IX. Abschn. ~ 1, Anmerkung.