Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

~ 9. XIII. Abschnitt. Ebene Schnitte und Schatten der Kugel. 149
L für die Kugel, sie steht senkrecht zu LM, liegt auf derselben Seite
von M wie L, ferner ist ihr Abstand von M gleich LM: r2, nach einem
Satz über harmonische Punktpaare. Doch hat man diese Formel für die
Konstruktion nicht nötig, siehe unten.
Der auf TT1 fallende Schatten liegt im Innern des oben eingeführten Kegels. Der Kegel ist aber eigentlich nur ein Halbkegel. Ein
Schatten auf TT- kommt nur zustande, wenn L höher liegt, als die untere
horizontale Tangentialebene der Kugel. Dann ist der Schatten elliptisch,
parabolisch oder hyperbolisch, je nachdem L über, in oder unter der
oberen horizontalen Tangentialebene der Kugel liegt. Das folgt aus den
früheren Sätzen über die ebenen Schnitte des Rotationskegels. Weiter
ist die Vertikalebene Z durch M und L eine Symmetrieebene für den
Kegel und für TT1 und damit für die Schnittkurve, fir den Schattenumriß.
Für die Durchführung der Konstruktion werden die folgenden
Angaben genügen. Wenn die durch L und M gehende Vertikalebene Z
zu TT2 parallel ist, so steht die Polarebene von L senkrecht zu TT, d. h.
die kreisförmige Lichtgrenze hat geradlinigen Aufriß (die Berührungssehne von k1" für den Pol L"). Der Grundriß folgt daraus, er kann
ganz im Innern von 1,' liegen oder Berührungsstellen mit kl' haben, vgl.
~~ ff.
Vom Schatten in TT1 liegt im elliptischen Fall die große
Ellipsenachse in der Symmetrieebene l), d. h. man findet die Scheitel
der großen Ellipsenachse mittels der Lichtstrahlen, welche durch den
höchsten und den tiefsten Punkt der Lichtgrenze gehen. Weiter lassen
sich die Schattenpunkte für die Endpunkte des horizontalen Durchmessers
der Lichtgrenze sofort angeben. Dadurch hat man die Endpunkte einer
zur großen Achse senkrechten Ellipsensehne. Die Ellipse folgt dann nach
dem VIII. Abschn. ~ 9.
Man kann aber die Scheitel der kleinen Achse der Schattenellipse
unmittelbar bestimmen. Aus den Scheiteln ihrer großen Achse folgt ihr
Mittelpunkt. Es ist der Schattenpunkt für einen Punkt N auf dem am
steilsten geneigten Durchmesser der kreisförmigen Lichtgrenze. Durch -N
geht eine wagrechte Sehne der Lichtgrenze. Die Endpunkte dieser Sehne
ergeben sich leicht mittels eines horizontalen Kreises. Ihnen entsprechen
als Schattenpunkte zwei Punkte auf der zu s, senkrechten Symmetrieachse der Schattenellipse, d. h. das zweite Paar von Scheiteln dieser Ellipse.
Die Konstruktion ist einfach. - Ähnliche Überlegungen hat man häufig
anzustellen. Der dritte Absatz in ~ 5 des IX. Abschnittes enthielt denselben Gedanken, nur handelte es sich da um die Schaffung konjugierter
Durchmesser einer Schattenellipse. Später wird die gleiche Betrachtung
wiederkehren bei Konstruktion des Schattens für ein vertikal stehendes
1) XlI. Abschn. ~ 3-5.