Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

~~ 6-8. XIII. Abschnitt. Ebene Schnitte und Schatten der Kugel. 147
~ 6. Andere Konstruktion der Schattenellipse in 1T,. Man braucht
nicht auf die Sätze über den ebenen Schnitt eines Zylinders zurückzugehen, sondern kann die Schattenellipse k, auffassen als schiefe
Parallelprojektion der auf der Kugel auftretenden Lichtgrenze k für
die Lichtrichtung. Daraus erhält man auch die Scheitel der Ellipse.
Denn irgend einem Paar rechtwinkliger Durchmesser des Kreises k entspricht nach dem VIII. Abschn. ~ 16 ein Paar konjugierter Durchmesser
der Ellipse, und wenn man im Kreis k den horizontalen und den am
stärksten geneigten Durchmesser wählt, so ist leicht zu sehen, daß ihnen
ein rechtwinkliges Paar konjugierter Durchmesser entspricht. Denn der
horizontale Durchmesser CD ist zu el parallel, deshalb ist seine Schattenlinie CD, ebenfalls zu e, parallel, zu l' senkrecht. Der am stärksten
geneigte Durchmesser AB liegt auf einer Spurnormalen von E, und
darum ist die Ebene der durch A und B gehenden Lichtstrahlen senkrecht zu es. Die Verbindungslinie von A, und B, fällt auf die Spur
dieser Hilfsebene, d. h. sie ist parallel zu 1'. So sind die konjugierten
Ellipsendurchmesser AsBs und C DI, zueinander rechtwinklig, d. h. sie
sind die Hauptachsen der Schattenellipse.
~ 7. Der auf TT2 fallende Teil des Schattens. In der Figur liegt
ein Teil des auf TT1 fallenden Kugelschattens hinter der Projektionsachse, d. h. es wird ein Teil des Kugelschattens von TT2 aufgefangen.
Man erhält die elliptische Umgrenzung dieses Flächenstückes, indem man
den ganzen elliptischen Schatten bestimmt, welchen die Kugel auf 1TT
werfen würde, wenn iTT durchsichtig wäre. Der Mittelpunkt dieser Ellipse
ist der Aufrißspurpunkt M' der durch M in der Lichtrichtung gezogenen
Geraden. Die kleine Achse steht senkrecht zu M"M', und ist gleich
2r; die große Achse fällt auf M/I"MS und ist 2 r: cos ac. Von dieser Schattenellipse in TT2 wird schließlich nur der Teil gezeichnet, der oberhalb der
Projektionsachse liegt. Als Probe dient, daß die beiden Schattenellipsen
einander auf der Achse schneiden.
Hat man die Aufrißprojektion der Lichtgrenze ohne Benutzung des
Neigungswinkels,2 konstruiert, dann kennt man für die in TT2 auftretende
Schattenellipse die Scheitel der kleinen Achse und die beiden Punkte, in
denen sie die Projektionsachse schneiden muß. Bei günstiger Lage dieser
Punkte läßt sich daraus die Ellipse nach dem VIII. Abschn. ~ 9 zeichnen.
Oder, wenn es sich nur um einen kurzen Bogen der Ellipse in T11 handelt,
kann man ihn direkt aus der Affinität zu dem in der Figur gestrichelten
Teil der in TT entstehenden Schattenellipse konstruieren, wie dieses im
IX. Abschn. ~ 2 bei dem Schatten des Kegels besprochen ist.
~ 8. Der Kugelschatten für eine ausgezeichnete Lichtrichtung;
Lösung des allgemeinen Falles mittels dieses Falles. Die Bestimmung
des Kugelschattens ist besonders einfach, wenn die Lichtrichtung parallel
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