Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

146 Erster Teil. Mongesche Methode mit Grund- und Aufriß. ~ 5.
(1', 1"). Der auf TTi und lTT fallende Kugelschatten und ebenso die Lichtgrenze auf der Kugel sind gesucht (Fig. 90, Taf. V).
Man beginnt mit der Bestimmung der Lichtgrenze auf der Kugel
(im Gegensatz zu den Betrachtungen betr. Kegel und Zylinder im IX. Abschn.
~~ 2, 4). Die Lichtgrenze ist ein größter Kreis k der Kugel, dessen Ebene E
senkrecht zur Lichtrichtung steht. Man erhäilt die Spuren dieser Ebene
nach dem III. Abschn. ~ 6. Die beiden elliptischen Projektionen von k
lassen sich gleichartig konstruieren unter Benutzung der Neigungswinkel c,
und a2. Würden die Ebenenspuren zu ungünstig ausfallen, dann hätte man
mit Spurparallelen zu arbeiten und ai und c2 wären die Komplemente zu
den Neigungswinkeln der Lichtrichtung gegen TTV und TT2. Diese Verwendung der beiden durch den Kugelmittelpunkt gehenden Spurparallelen
statt der Ebenenspuren ist überhaupt kürzer und besser als das zuerst
angegebene, mehr elementare Verfahren.
Die Gesamtheit der Lichtstrahlen, welche die Kugel in den Punkten
der Lichtgrenze berühren, bildet einen Rotationszylinder, dessen Achse in
der Lichtrichtung durch den Kugelmittelpunkt geht. Der Schnitt dieses
Zylinders mit TTi ist der Umriß des auf TTi geworfenen Kugelschattens.
Der Schnitt ist eine Ellipse von der kleinen Halbachse r und der großen
Halbachse r: cos ~c (XI. Abschn. ~ 2). Die durch M parallel zur Lichtrichtung
gelegte Vertikalebene E: ist eine Symmetrieebene für die Zylinderfläche,
ihre Grundrißspur ist die eine Symmetrieachse für die Schattenellipse, und
zwar fällt die große Ellipsenachse auf diese Gerade. Der Mittelpunkt der
Ellipse ist der Grundrißspurpunkt der Zylinderachse, d. h. der dem Punkt M
zugeordnete Schattenpunkt M/l1). Nun läßt sich die Ellipse zeichnen;
ihre große und kleine Ache gehen durch MJI und sind parallel und senkrecht zu l', die Längen beider Halbachsen sind bekannt.
Zweitens läßt sich die in TT auftretende Schattenellipse auf folgende
Art zeichnen. Man bestimmt zunächst ihren Mittelpunkt M,. Die Scheitel
der kleinen Achse Cs und D, liegen im Abstand r von M, auf der
durch IM zu 1' gezogenen Senkrechten. Dann sucht man nicht die
Scheitel A, und Bs der großen Achse, sondern die Brennpunkte; sie
folgen aus dem Satz von Quetelet und Dandelin.2) Die horizontale Berührungsebene im tiefsten Punkt der Kugel schneidet den Zylinder in
einer Ellipse, welche die Berührungsstelle zum einen Brennpunkt besitzt.
Die Schattenellipse in TT1 entsteht aus dieser Ellipse durch Parallelverschiebung in der Achsenrichtung des Zylinders, d. h. in der Lichtrichtung. So ist der eine Brennpunkt der Schattenellipse der Grundrißspurpunkt der in der Lichtrichtung durch den tiefsten Punkt der Kugel
gelegten Geraden. Der andere Brennpunkt ist dem höchsten Punkt der
Kugel entsprechend zugeordnet.
1) Vgl. VII. Abschn. ~ 7.
2) Vgl. XI. Abschn. ~ 2 und XII. Abschn. ~ 5.