Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

~ 1. XIII. Abschnitt. Ebene Schnitte und Schatten der Kugel. 143
Konstruktion des Dreiecks ASB aus der Basis, dem Winkel an der Spitze
und der Summe der anderen Seiten. Auch im parabolischen Fall liefert
der Satz von Quetelet-Dandelin die Lösung, welche hier noch wesentlich
kürzer ist als in den vorigen Fällen.
Denkt man sich einen gegebenen Kegelschnitt auf einen gegebenen
geraden Kreiskegel aufgelegt und dann durch Umlegung uni die Ebenenspur in die Ebene des Basiskreises gebracht, so besteht zwischen der umgelegten Kurve und dem Basiskreis perspektivische Kollineation. Das
wird im XV. Abschnitt des zweiten Bandes näher betrachtet, man kommt
damit auch zu einer Lösung der eben behandelten Aufgabe.
XIII. Abschnitt.
Ebene Schnitte und Schatten der Kugel.
~ 1. Der Schnitt der Kugel mit einer allgemeinen Ebene. Erstes
Verfahren. Eine Kugel ist durch ihren Mittelpunkt M und Radius r
gegeben; ihr Schnitt mit einer Ebene E in allgemeiner Lage ist gesucht.
Diese Aufgabe läßt sich auf zwei Wegen lösen: Der eine beruht
darauf, daß man zuerst den Mittelpunkt und Radius des Schnittkreises k
sucht und daraus die Projektionen des Kreises bestimmt. Der andere
beruht auf der Verwendung eines Seitenrisses, womit der Fall der allgemeinen Lage von E auf einen besonderen, einfacher lösbaren Fall
zurückgeführt wird.
Beim ersten Verfahren erhält man den Mittelpunkt des Schnittkreises k
als Fußpunkt des vom Kugelmittelpunkt M auf E gefällten Lotes. Man sucht
die Länge dieses Lotes und daraus den Radius Q des Kreises, er bildet mit
der Lotlänge die beiden Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks von der
Hypotenuse r. Nun sind Mittelpunkt und Radius des in E liegenden
Kreises bekannt, und er läßt sich deshalb nach dem VIII. Abschn. ~~10, 11
zeichnen.
Dabei ist noch wichtig zu bestimmen, wie der Kreis zu den beiden
zu TT, bzw. TT2 parallelen größten Kugelkreiseln 7k und 7k liegt.') Die
Ebene von k, schneidet E in einer Spurparallelen erster Art. Diese
hat dieselbe Höhenlage wie M, ihr Aufriß geht durch M", ihr Grundriß
bestimmt sich daraus. Wenn die Spurparallele iit k7 zwei oder einen
Punkt gemein hat, so geht auch k durch diese Punkte hindurch. Sonst
hat k mit kc keinen Punkt gemein. Hierdurch ist sofort zu entscheiden,
ob der Kreis k teils auf der oberen und teils auf der unteren Hälfte der
Kugel liegt, oder ob er 1n in einem Punkt berührt und ganz auf einer
1) Die Bezeichnung des früheren Abschnitts ist beibehalten (VI. Abschn. ~ 20).