Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

142 Erster Teil. Mongesche Methode mit Grund- und Aufriß. ~~ 18-20.
punkt hinausgeht, konkav gegen SH. Demnach liegt die Asymptote so,
daß der äußere Teil der Kurve zwischen ihr und SBf bleibt.
~ 19. Zusätze. Die Projektionen des hyperbolischen Schnittes eines
geraden, auf TT[ stehenden Kreiskegels für allgemeine Lage der Schnittebene sollen nicht weiter besprochen werden. Wegen des Aufrisses ist
der VIII. Abschn. ~ 20 zu vergleichen.
Der Schnitt des auf TT- stehenden Rotationskegels mit einer
Geraden g wird mittels einer Hilfsebene E bestimmt, welche durch g
geht. Wenn g nicht horizontal ist, legt man E durch die Kegelspitze S,
damit E und die Kegelfläche Geraden gemein haben. Die Spur et folgt
leicht, indem man durch S eine Parallele zu g legt; das Weitere ist
einfach.
Zu den leichten Aufgaben, die kaum eine Besprechung fordern, gehört
das Zeichnen der Projektionen einer geodätischen Linie des Kegelmantels. Ihre Abwicklung ist geradlinig. Grundrisse und Aufrisse der
Punkte, welche die Kurve mit ausgewählten Mantelgeraden gemein hat,
ergeben sich aus der Abwicklung. Auch die Projektionen der Kurventangenten für diese Punkte kann man finden, und das ist nicht zu vernachlässigen. - Sind zwei Punkte der geodätischen Linie auf dem Kegelmantel gegeben, so bestimmt dies die Kurve keineswegs eindeutig.
Die Behandlung von Kartenprojektionen im XXI. Abschnitt bietet
noch manches über ebene Schnitte gerader und schiefer Kreiskegel.
~ 20. Das Auflegen eines gegebenen Kegelschnittes auf einen gegebenen Rotationskegel. Zum Abschluß der Betrachtungen über die ebenen
Schnitte des Rotationskegels soll jetzt bewiesen werden, daß man eine beliebige Ellipse (oder Hyperbel oder Parabel) auf jeden gegebenen Rotationskegel auflegen kann, d.h. daß man durch passende Neigung undVerschiebung
der Schnittebene eine beliebige Gestalt der Schnittkurve erreichen kann.
Man betrachtet die in der Symmetrieebene X auftretende Figur. (Fig. 87
auf Taf. IV). G SH ist der Durchschnitt durch den Kegel. A und B sind
die Scheitel der großen Achse der Ellipse. Die Kreise in der Figur
sind größte Kreise der beiden Kugeln, welche den Kegelmantel von innen
berühren und zugleich die Schnittebene E berühren. Nach dem Satz von
Quetelet-Dandelin sind die Berührungspunkte der Kugeln mit E die Brennpunkte der Ellipse.
In der Figur ist AF, = AJ, BF, = BK, SJ = SK oder AF - BF2
= AJ — BK- AS -- BS. So kennt man vom Dreieck ASB die Grundlinie AB, den Winkel an der Spitze und die Differenz der Seiten. Daraus
läßt sich das Dreieck in besonderer Figur zeichnen. Seine Übertragung
in die Durchschnittsfigur des Kegels gibt die Stellung der Ebene E,
welche den Kegel in der gegebenen Ellipse schneidet.
Die entsprechende Betrachtung im Fall einer Hyperbel führt auf die