Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

~~ 17-18. XII. Abschnitt. Ebene Schnitte des Rotationskegels. 141
Außerhalb der Wendepunkte wird die Kurve nahezu geradlinig, vgl. den
nächsten Paragraphen.
Der Krümmungsradius des Scheitels A der abgewickelten Kurve
folgt wieder ganz einfach aus dem Catalanschen Satz: Die Konstruktion ist
dieselbe wie in ~ 9 und sie liefert hier den Krümmungsradius ziemlich
genau.
~ 18. Die Asymptoten der abgewickelten Schnittkurve. Läßt man
den untern Kegelmantel unbegrenzt, dann geht die abgewickelte Kurve
ins Unendliche. Dabei besitzt sie zwei Asymptoten, deren Vorhandensein
und deren Lage man auf folgende Art findet.
Die Geraden SH und SI des Kegelmantels sind parallel zu den
Asymptoten der auf dem Kegelmantel liegenden Hyperbel. Die vordere
Hälfte des untern Hyperbelzweiges verläuft in der Nähe der Geraden SH.
Auf diesem Kurventeil wird ein Punkt P gewählt. Durch ihn geht eine
einzige geodätische Linie senkrecht zu SH.
Je weiter P nach unten rückt, um so mehr wird dieses geodätische
Lot PQ geradlinig und horizontal, um so geringer wird deshalb der
Längenunterschied zwischen ihm und seiner Grundrißprojektion. Diese
Grundrißprojektion P'Q' selbst hat in Q' eine zu S'H senkrechte Tangente (II. Abschn. ~ 27), und der Längenunterschied zwischen dem Bogen
P'Q' und dem senkrechten Abstand des P' von S'I wird für unbegrenzt
nach unten rückendes P unendlich klein. Dabei wird aber der senkrechte
Abstand des P' von S'H gleich dem Abstand der Asymptote J'IK von
S'H, d. h. gleich KH. Damit ist als Grenzwert der Länge des geodätischen Lotes PQ die Strecke KHI gefunden.
Das geodätische Lot PQ wird in der Abwicklung zu einer geradlinigen Senkrechten, und daraus, daß seine Länge einen festen Grenzwert
gleich KH hat, folgt, daß die abgewickelte Kurve eine zu SH parallele
Asymptote hat, die von SH um KH absteht.
Bei noch endlicher Lage von P ist die Länge der geodätischen Linie
PQ größer als die Länge ihrer Grundrißprojektion und diese selbst ist
größer als der senkrechte Abstand des P' von S'H; ferner ist dieser
senkrechte Abstand kleiner als KH. Demnach läßt sich hieraus nicht
schließen, ob die Länge des geodätischen Lotes PQ sich beim Fortricken
des P ihrem Grenzwert von oben oder von unten her nähert. Trotzdem
ist hier der Nachweis leicht, daß die abgewickelte Kurve zwischen SH1
und der Asymptote verläuft. Man betrachtet auf dem Kegelmantel die
geodätische Linie, welche die Hyperbel in A berührt. Aus ihr wird
durch die Abwicklung die Berührungsgerade der abgewickelten Hyperbel
für den Scheitel A, und man sieht für die Verhältnisse der Figur,
daß die abgewickelte Kurve bei ihrem Scheitel A konvex gegen S ist.
Darum wird die Kurve, wenn man von A aus über den einen Wende