Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

140 Erster Teil. Mongesche Methode mit Grund- und Aufriß. ~~ 16-17.
Geht man von diesen vier Punkten senkrecht auf die durch S' gelegte
Parallele zur Projektionsachse herüber, so hat man die harmonischen
Punktpaare 0, N und 7, 1, oder 0 ist der Pol zur Geraden HI für den
Basiskreis, d. h. OH und 01 sind Tangenten an den Kreis.
Die Ebene durch S3 und OH ist eine Tangentialebene des Kegels,
sie enthält den Punkt M, weil 0 der Spurpunkt von SM ist. Die durch
M zu SH gezogene Parallele liegt in dieser Ebene und der Ebene E;
ihr Grundrißspurpunkt K ist deshalb der Schnitt von OH mit e, oder
der Schnitt der in H an den Kreis gelegten Tangente mit e,. Diese
Eigenschaft wird später (in ~ 18) verwendet, vorläufig gibt sie eine Probe
für K - und ebenso für L. Falls 3B" und damit M" und 1/' unsicher
ausfallen, bestimmt man K auf e, nur mittels der Tangente in 1H, daraus
M' durch KM' \ S'H, und endlich M" aus M'.
In der Figur ist KL fast gleich dem Kreisdurchmesser. Das ist nur
Zufall, denn eine Parallelverschiebung der Ebene E ändert die Punkte H
und 1 und die zugehörigen Kreistangenten nicht und ändert deshalb die
Länge KL.
Wie beim elliptischen und parabolischen Schnitt des auf TTI stehenden Rotationskegels läßt sich auch hier wieder zeigen, daß S' der eine
Brennpunkt der Grundrißhyperbel ist. Das könnte man als Probe für
die Asymptoten der Grundrißhyperbel verwenden. Ferner läßt sich daraus
der Krümmungsradius für einen Scheitel der Grundrißhyperbel finden.
Denn dieser ist die halbe Länge der durch den Brennpunkt gehenden und
dabei zur Hauptachse senkrechten Sehne. (Der entsprechende Satz für
die Ellipse kam im VIII. Abschn. ~ 5 und im XII. Abschn. ~ 4 Anmerkung vor.)
Die Brennpunkte und Direktrices der Schnitthyperbel selbst und damit
die der Umlegung könnte man wieder aus dem Satz von Quetelet-Dandelin
finden, welcher hier genau so lautet wie für einen elliptischen Kegelschnitt
in ~ 5. Das hat eigentlich nur theoretisches Interesse.
~ 17. Die Abwicklung der Schnittkurve. Zur Konstruktion der Abwicklung des Kegelmantels und der Schnitthyperbel ist der Basiskreis in
zwölf gleiche Teile geteilt, wobei zwei Teilpunkte auf die Spur der Symmetrieebene Z gelegt sind. Die Schnittpunkte der zwölf Mantelgeraden
mit E werden bestimmt und in die Abwicklung eingetragen wie früher.
Die Figur 86b zeigt nur die Abwicklung des untern Halbkegels, also
auch nur die Abwicklung des untern Hyperbelzweiges.
Diese Kurve hat im Fall der Figur zwei Wendepunkte; die Konstruktion dieser Punkte und ihrer Tangenten ist in ~ 8 besprochen.')
1) Die Prüfung, ob Wendepunkte auftreten, soll man nie unterlassen. Die genaue Konstruktion der Wendepunkte kann man zuweilen unterlassen, sehr häufig ist
sie aber wesentlich für die genaue Zeichnung.