Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

~~ 15-16. XII. Abschnitt. Ebene Schnitte des Rotationskegels. 139
~ 15. Hyperbolischer Schnitt des Rotationskegels. Die Ebene wird
senkrecht zu TT2 angenommen, Fig. 86a auf Taf. IV). e2 ist dabei steiler
als eine Mantelgerade des auf 1TT stehenden Kegels.
Wieder betrachtet man die Hilfsebene E, welche durch die Zylinderachse parallel zu TT2 geht. Die in ihr liegende Spurnormale erster Art
von E ist eine Symmetrieachse des Kegelschnittes, und zwar fallen auf
sie die beiden Scheitel A und B der Hyperbel. Man findet A" und B",
daraus A', B', und auch beide Projektionen des Mittelpunktes M1 der
Hyperbel.l) Die Punkte F und G, in denen e1 den Basiskreis des Kegels
schneidet, gehören auch der Hyperbel an. Der Grundriß der Hyperbel
hat A', B' zu Scheiteln und enthält die Punkte F und G. Das würde
zum Zeichnen ausreichen; aber wesentlich sind doch die Asymptoten
der Grundrißhyperbel, und sie sind leicht zu bestimmen:
Alle Parallelebenen zu E schneiden den Kegel in Hyperbeln, deren
Asymptoten untereinander parallel sind. Die durch S gehende Parallelebene liefert als Hyperbelgrenzfall ein Geradenpaar SIH, SI, dessen Konstruktion eingetragen ist. Zu diesen Geraden sind die Asymptoten der
in E auftretenden Hyperbel parallel. Daraus folgen die Projektionen und
die Grundrißspurpunkte K und L dieser Asymptoten. Die Punkte K und
L erfüllen Bedingungen, die im nächsten Paragraphen aufgestellt werden.
MK und ML sind die Asymptoten der Schnitthyperbel. Daraus
findet man die Asymptoten MiK und M0L der umgelegten Hyperbel und
(wegen der zwischen der Schnitthyperbel und ihrem Grundriß bestehenden
Affinität) die Asymptoten der Grundrißhyperbel, sie sind Mi'K und M'L.
Darum lassen sich die beiden Hyperbeln in 1TT zeichnen, jede aus den
Asymptoten und Scheiteln. Zur Konstruktion dient der Satz, daß eine
bewegliche Tangente mit den Asymptoten ein Dreieck von konstantem
Inhalt bildet, wobei der Berührungspunkt immer die Mitte der einen
Seite ist. Die Punkte F und G von e, in welchen beide Hyperbeln zusammentreffen, dienen als Proben.
Die Zentralkollineation zwischen der Schnitthyperbel und dem
Basiskreis des Kegels und zwischen der Umlegung oder dem Grundriß der
Schnitthyperbel und dem Basiskreis soll jetzt nicht näher betrachtet werden. Darüber ist der XV. Abschn. im zweiten Band zu vergleichen.
~ 16. Fortsetzung. Die Punkte K und L erfüllen nun einfache Bedingungen.
1I" ist die Mitte von A B", also sind M" und der unendlich
ferne Punkt von e2 harmonisch zu A", B". Diese beiden Punktpaare bestimmen zwei harmonische Strahlenpaare mit dem Zentrum S" und daraus
folgen wieder zwei harmonische Punktpaare auf der Projektionsachse.
1) Über sichere Bestimmung des M ist ~ 16 (Mitte) zu vergleichen.