Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

138 Erster Teil. Mongesche Methode mit Grund- und Aufriß. ~~ 13-14.
Abs and des Lotfußpunkts Y von A" ist der gesuchte Krüiimmungsradius
der Ptrabel im Scheitel A. Vgl. ~ 9.1)
Feimer ergibt sich der Krümmungsradius im Scheitel der abgewickelten Kurve wieder nach dem Catalanschen Satz, man hat genau
die Konstr!.ktion wie im Fall des elliptischen Schnittes.
~ 14. Parabolischer Schnitt im allgemeinen Fall. Man nimmt wieder
einen stehenden Rotationskegel, sucht eine allgemeine Tangentialebene desselben und wählt eine dazu parallele Ebene E als Schnittebene. Der ScheitelA
der Schnittparabel und die Punkte B, C, in denen sie den Basiskreis des
Kegels durchkreuzt, ergeben sich genau wie im vorigen Fall. Dabei steht
die Ebene Z senkrecht zu e, und geht durch die Kegelachse. Man weiß
außerdem, daß alle horizontalen Sehnen der Parabel ihre Mittelpunkte in
X haben. Der Grundriß der Parabel wird konstruiert wie in ~~ 12, 13,
für den Aufriß der Parabel ist der Aufriß des Scheitels nicht selbst der
Scheitel, sondern nur der Endpunkt eines Durchmessers mit horizontaler
Tangente. Dieser Durchmesser ist A"D", wenn D die Mitte von BC
ist. Er halbiert alle horizontalen Sehnen der Aufrißparabel. Man hat
dann genug Bestimmungsstücke, um den Scheitel, die Achse und den Parameter dieser Parabel zu finden; aber dieser theoretisch richtige Weg ist
praktisch viel zu umständlich.
Man wird sich meist auf näherungsweise Konstruktion der Aufrißparabel beschränken, indem man einzelne Punkte von ihr wie in ~~ 11 u. 12
bestimmt. Dabei ist es wichtig, die Tangenten in den einzelnen Punkten
zur Konstruktion zu verwenden. Die Endpunkte P" und Q" einer horizontalen Sehne haben Tangenten, die sich auf der Verlängerung von A'D"
in einem Punkt T" treffen, und dabei liegt T" ebensoweit von A" entfernt, wie der Mittelpunkt des P"Q"!. - Die Tangenten der Grundrißparabel in P' und Q' schneiden A'D' in einem gemeinsamen Punkt T',
der senkrecht unter T" liegt und von A' soweit entfernt ist wie der
Mittelpunkt der Sehne P'Q'.
Andererseits kann man beliebig viele Punkte der Aufrißparabel aus
projektiven Strahlbüscheln erhalten. Dazu nimmt man A" als Zentrum
des einen Büschels und benutzt als zweites Büschel ein Parallelbüschel
von der Richtung A"D"' Die Zuordnung von Strahlen der beiden Büschel
ergibt sich in bekannter einfacher Art aus ähnlichen Punktreihen (Fig. 85,
Taf. IV). Die Tangentenkonstruktion für die gefundenen Punkte ist eben
angegeben worden und ist in der Figur enthalten.
1) Andererseits erhält man den Brennp'unkt der Schnittparabel und daraus den
Brennpunkt der umgelegten Parabel leicht aus dem Satz von Quetelet und Dandelin.
Im Gegensatz zu ~ 5 gibt es hier nur eine Kugel, welche die Kegelfläche und zugleich die Ebene E berührt. Der Berührungspunkt der Kugel mit E ist der Parabelbrennpunkt; die Ebene E schneidet die Ebene des BerührLngskreises von Kugel und
Kegel in der Direktrix der Parabel.