Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

~~ 8-10. XII. Abschnitt. Ebene Schnitte des Rotationskegels. 135
Zweitens kann das von S auf E gefällte Lot selbst eine Mantelgerade des Kegels sein, dann ist die Tangentialebene des Kegels, welche
ihn längs dieser Mantelgeraden berührt, senkrecht zu E und der Scheitel B
der Ellipse gibt in der Abwicklung eine Stelle mit unendlich großem
Krümmnungsradius; aber wegen der Symmetrie der beiden Hälften der
abgewickelten Kurve ist das kein Wendepunkt, sondern eine Stelle mit
vierpunktig berührender Tangente.
Drittens kann das Lot ins Innere des Kegels fallen, dann gibt es
keine Tangentialebene des Kegels, die senkrecht zu E steht, und keine
Wendepunkte der abgewickelten Kurve.
Die Figur entspricht dem zuerst betrachteten Fall, die Konstruktion
der Wendepunkte und ihrer Tangenten ist vollständig durchgeführt; nähere
Erläuterung ist nicht nötig. Oft kann man sich darauf beschränken, nur
die Mantelgeraden zu bestimmen, auf denen die Wendepunkte der abgewickelten Kurve liegen. Denn häufig sind hierdurch und durch die in
der Nähe erhaltenen Kurvenpunkte die Wendepunkte schon sicher genug
bestimmt, auch um ihre Tangenten zu ziehen.
~ 9. Die Kriimmungskreise für die Scheitel der abgewickelten
Kurve folgen aus den Sätzen von Meusnier und Catalan:
Im Scheitel A wird die Ellipse von einem Normalschnitt der Kegelfläche berührt, und der Krüminungsmittelpunkt dieses Normalschnittes
liegt nach einem bekannten - für jede Rotationsfläche geltenden Satz
auf der Kegelachse. Deshalb ist das in A" auf S"A" errichtete Lot
A"X der Krümmungsradius des betrachteten Normalschnittes in A. Nach
dem Meusnierschen Satz findet man den Krümmnungsradius A"Y der Ellipse
in A, indem man die Strecke A"X senkrecht auf A"B" projiziert. (Fig. 82 a).
Die Ebene der Ellipse bildet mit der in A an den Kegel gelegten
Tangentialebene den Winkel = < B"A"S". Darum folgt aus dem
Catalanschen Satz der Krümmungsradius der abgewickelten Kurve an der
dem Ellipsenscheitel A entsprechenden Stelle gleich A"Y: os oder gleich
A"Z, wo Z der Schnittpunkt von A'"S" mit der Verlängerung von XY ist.
Für den Punkt B ist alles entsprechend, übrigens gibt im Fall der
Figur die Konstruktion für B einen schlechten Schnitt, so daß der
Krümmungsradius für den abgewickelten Scheitel B sich ungenau ergibt.
~ 10. Elliptischer Schnitt des stehenden Rotationskegels im allgemeinen Fall. Gegeben sind ein auf TT1 stehender Rotationskegel und
eine elliptisch schneidende Ebene mit den Spuren el und e2 von allgemeiner Lage. Gesucht sind die Projektionen der Schnittkurve (Fig. 83
auf Taf. IV).
Man betrachtet wieder die zu ei senkrechte, durch die Kegelachse
gehende Ebene Z. Sie ist Symmetrieebene für die Ellipse, und auf ihrer
Schnittlinie mit E liegen die Scheitel A und B der großen Achse der