Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

134 Erster Teil. Mongesche Methode mit Grund- und Aufriß. ~~ 7-8.
dem VI. Abschn. ~ 10. Dadurch lassen sich diese Ellipsenpunkte in die
Abwicklung eintragen nach dem VI. Abschn. ~ 12. (Fig. 82b.)
Ist der Mantel an einer der beiden in der Symmetrieebene Y liegenden Mantelgeraden aufgeschnitten, dann hat die abgewickelte Schnittlinie
zwei kongruente Hälften. Den Scheiteln A und B der großen Achse
der Ellipse entsprechen Scheitel der Abwicklung, den Scheiteln C und D
entsprechen keine ausgezeichneten Punkte der Abwicklung, deshalb überträgt man C und D auch gar nicht in die Abwicklung.
Besonders wenn die abgewickelte Kurve aus wenigen Punkten gezeichnet
wird, ist es wichtig, die Tangenten an diesen Punkten (mindestens zum
Teil) zur Konstruktion der Kurve mit zu verwenden. Der Kreuzungswinkel
eines Kurvenelements mit der Mantelgeraden wird durch die Abwicklung
nicht geändert, deshalb bildet die Tangente der abgewickelten Kurve mit
der Mantelgeraden ihres Berührungspunktes denselben Winkel wie die Tangente im entsprechenden Punkt P der Schnittellipse mit der Mantelgeraden
von P, und dieser Winkel ist in ~ 3 mittels eines rechtwinkligen Dreiecks PQT1 konstruiert worden. Man hat demnach bloß ein kongruentes
rechtwinkliges Dreieck in der Abwicklungsfigur an die Strecke PQ anzufügen, seine neue Kathete berührt den abgewickelten Basiskreis. Die
verlängerte Hypotenuse ist die Tangente der abgewickelten Kurve. In den
Scheiteln A und B durchkreuzt die Kurve die Mantelgeraden rechtwinklig.
Sind 4der Kegel und die Ebene E gegeben wie bisher, und wird nur
die Abwicklung der Schnittkurve gesucht, dann ist auch das Verfahren
von ~ 16 des vorigen Abschnitts recht gut. Aber ergänzen soll man es
durch die Tangentenkonstruktion für die einzelnen Punkte der abgewickelten
Kurve oder wenigstens für einen Teil dieser Punkte, worüber eben alles
nötige gesagt ist.
~ 8. Die Wendepunkte der abgewickelten Ellipse. Unendlich große
Krümmungsradien für die abgewickelte Kurve treten nach dem Catalanschen Satz dann und nur dann auf, wenn es Tangentialebenen des Kegels
gibt, welche zur Schnittebene E senkrecht stehen. Die Berührungsgeraden
dieser Tangentialebenen enthalten die Ellipsenpunkte, denen in der Abwicklung die Punkte mit unendlich großelm Krümmungsradius entsprechen.
Nun sind drei Fälle zu unterscheiden je nach der Lage des von S
auf E gefällten Lotes.
Erstens kann das Lot außerhalb des Kegels verlaufen, so daß sein
Grundrißspurpunkt U außerhalb des Basiskreises vom Kegel liegt. Die
Berührungspunkte V7 und FV der beiden von U ausgehenden Tangenten an
diesen Basiskreis sind dann die Endpunkte der Mantelgeraden des Kegels,
für welche die Tangentialebenen senkrecht zu E stehen. Die Punkte
der Schnittellipse, welche diesen Mantelgeraden angehören, liefern Wendepunkte der abgewickelten Kurve.