Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

~~ 5-7. XII. Abschnitt. Ebene Schnitte des Rotationskegels. 133
~ 5. Die Sätze von Quetelet-Dandelin mit Folgerungen. Es gibt
zwei Kugeln, welche den Kegelmantel von innen jede längs eines Kreises
berühren und außerdem noch die Ebene E berühren. Die Berührungspunkte mit E sind die Brennpunkte der in E liegenden Schnittellipse.
Ferner sind die Schnittlinien von E mit den Ebenen der genannten Berührungskreise die beiden Direktrices der Ellipse. Ein Beweis dieser
Sätze soll hier nicht gegeben werden.') - Die Ebene Z, welche in ~ 3 eingeführt wurde, enthält die Kugelmittelpunkte und die Berührungspunkte
der Kugeln mit E. Daraus folgt wieder, daß die große Ellipsenachse auf
die Schnittlinie von E und Z fällt. Weiter ist es wegen des Parallelismus
von E und TT2 sehr leicht, die Aufrisse der Berührungskugeln, die Aufrisse
der Ellipsenbrennpunkte und die Aufrißspurpunkte der Direktrices zu
konstruieren. Daraus folgen schließlich die Brennpunkte und Direktrices
der in TT1 umgelegten Ellipse. In Fig. 82a sind die Konstruktionen fortgelassen.
~ 6. Perspektivische Kollineation. Zwischen der Schnittellipse und
dem Basiskreis besteht perspektivische Kollineation für S als Zentrum
und ei als Kollineationsachse. Ebenso besteht in der Ebene TT1 zwischen
dem Basiskreis und dem Grundriß der Ellipse und außerdem zwischen
dem Basiskreis und der Umilegung der Schnittellipse perspektivische Kollineation mit der Kollineationsachse e,. In beiden Fällen läßt sich das
Kollineationszentrum leicht angeben. Näheres hierüber ist schon im
XI. Abschn. ~~ 7, 8 gesagt. Im zweiten Band (Zentralperspektive) enthält
der XV. Abschnitt eine eingehende Behandlung der zum Kreis in dessen
Ebene perspektivisch kollinearen Kurven. Im Anschluß hieran wird dann
der elliptische Schnitt des Rotationskegels in der Darstellung mit Grundund Aufriß noch näher untersucht.
~ 7. Die Abwicklung des Kegelmantels nnd der in ihm liegenden
Ellipse. Man teilt den Basiskreis in eine durch vier teilbare Anzahl
gleicher Teile in der Art, daß die Grundrißspurpunkte der durch die
Scheitel A und B gehenden Mantelgeraden als Teilpunkte auftreten. In
der Figur sind wegen der Übersichtlichkeit nur acht Teilpunkte verwendet. Beim Zeichnen einer größeren Figur muß man mindestens zwölf
Teilpunkte verwenden. Dann zeichnet man die Aufrisse der in den Teilpunkten endenden Mantelgeraden, ihre Grundrisse sind nicht nötig. Je
zwei der Mantelgeraden haben im allgemeinen denselben Aufiiß. Nun
kennt man die Aufrisse der Schnittpunkte der Mantelgeraden mit E, und
daraus folgen die wahren Abstände dieser Schnittpunkte von S nach
1) Die Literatur über Kegelschnitte ist zu vergleichen, z. B. Salmon-Fiedler,
Kegelschnitte, 6. Aufl., Bd. II S. 820, 21.