Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

132 Erster Teil. Mongesche Methode mit Grund- und Aufriß. ~~ 3-4.
ellipse, worauf in ~ 9 noch eingegangen wird, aber für die Krümmungsradien in C und D müßte man den Eulerschen Satz mit verwenden, und
dann würde die Konstruktion zu umständlich.)
Ist eine Mantelgerade g des Kegels gegeben und ist der auf g liegende
Punkt P der Ellipse gesucht, so ist P" der Schnittpunkt von g" und e2,
P' folgt auf eine der bekannten Arten (VI. Abschn. ~ 10).
Die Tangente der Schnittellipse in P wird entsprechend bestimmt,
wie in ~ 2 des vorigen Abschnitts beim Zylinder. Der Grundrißspurpunkt
T1 der Tangente ist Schnitt von e, mit der Tangente des Basiskreises,
deren Berührungspunkt Q auf der Mantelgeraden des Punktes P liegt.
Daraus ergeben sich beide Projektionen der Tangente und auch ihre Umlegung. Das Dreieck PQT, ist bei Q rechtwinklig und enthält bei P
den Winkel, unter welchem die Ellipsentangente die Mantelgerade SQ
des Kegels durchkreuzt. Das ist für ~ 7 wiehtig.
~ 4. Ergänzungen. D'S' ist nach der oben besprochenen Konstruktion gleich der halben Länge der horizontalen Geraden, welche durch
M" geht und durch die Umrißlinien des Kegelaufrisses begrenzt ist.
Diese Strecke ist Mittellinie in einem Trapez und daraus folgt:
D'S = (A" K + B"L) = AB',
A', B', C' und D waren die Scheitel der Grundrißellipse. Die Formel
zeigt, daß D' dem Mittelpunkt M' näher liegt als A' und B'. Demnach
sind A' und B' die Scheitel der großen Ellipsenachse. Weiter
folgt aber, daß S' der eine Brennpunkt ist.') Dieser elementare Beweis
stammt aus Reinhold Müllers Leitfaden für die Vorlesungen über darstellende Geometrie an der technischen Hochschule zu Braunschweig.
Sonst beweist man den Satz mittels der Eigenschaft, daß in dem involutorischen Strahlbüschel aller durch einen Brennpunkt gehenden konjugierten Polaren einer Kurve zweiter Ordnung sämtliche Strahlenpaare
rechtwinklig sind. Hierauf wird erst im zweiten Band (Zentralperspektive),
eingegangen.
Jetzt muß noch der Zusammenhang der in E liegenden Ellipse mit
ihrer Grundrißprojektion betrachtet werden. Aus den Achsen AB und CD
der ersten Ellipse gehen durch die Orthogonalprojektion die Achsen A'B'
und C'D' der zweiten Ellipse hervor. A'B' ist verkürzt im Vergleich
zu AB. C'D' ist gleich CD. Weil A'B' größer als C'D' ist, ist erst
reeht AB größer als CD. So liegt die große Achse der Schnittellipse
in der Symmetrieebene E, was schon in ~ 3 behauptet wurde.
1) Die Horizontalebene durch den Schnittpunkt der Kegelachse und der Ebene E
schneidet den Kegel in einem Kreis. Auf dessen Grundriß findet man die Endpunkte
der durch S' senkrecht zur großen Achse gehenden Sehne der Grundrißellipse; die
halbe Länge dieser Sehne ist zugleich der Krümmungsradius für die Scheitel A' und
B' der Grundrißellipse. Vgl. den Schluß von ~ 5 im VIII. Abschn.