Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

~~ 2-3. XII. Abschnitt. Ebene Schnitte des Rotationskegels. 131
Dasselbe hätte man kürzer erhalten, wenn man das unendlich kleine
sphärische Dreieck 8 Q*Q2 sofort als geradliniges ebenes und rechtwinkliges Dreieck behandelt hätte.
So verhalten sich die Kontingenzwinkel der abgewickelten und der
ursprünglichen Kurve wie cos-1:l. Für die Krümmungen gilt wegen des
gemeinsamen ds das Gleiche. Damit ist der zu Anfang des Paragraphen
ausgesprochene Satz bewiesen. Die dort angegebenen besonderen Fälle
bedürfen keiner näheren Besprechung.
~ 3. Elliptischer Schnitt des Rotationskegels. Die Figur 82a (Taf. IV)
gibt einen auf TT1 stehenden' Rotationskegel und eine zu TT2 senkrechte
Ebene E von solcher Art, daß der Schnitt eine geschlossene Kurve, d. h. eine
Ellipse wird; e, ist dann weniger steil als die Mantelgeraden des Kegels.
Die durch die Kegelachse senkrecht zu e, gehende (zu TT1 parallele)
Ebene Z ist eine Symmetrieebene für den Kegel und für E, demnach
auch für die Ellipse. Ihre Schnittlinie mit E, die Spurnormale erster Art
von E, deren Grundriß durch S' geht, ist die eine Symmetrieachse der
Ellipse. Die beiden Scheitel A und B dieser Achse ergeben sich sofort,
zuerst findet man A' und B", dann A' und B'. Der Halbierungspunkt
der Strecke AB ist der Mittelpunkt M der Ellipse. Die andere Ellipsenachse geht durch M senkrecht zur ersten Achse, sie ist die durch M11
gehende Spurparallele erster Art von E. Die Schnittpunkte dieser Linie
mit der Kegelfläche bestimmt man am besten daraus, daß man den in
der Horizontalebene von M liegenden Kreis des Kegelmantels sucht, sein
Radius folgt aus dem Aufriß, daraus ergibt sich der Grundriß des Kreises,
dann findet man C' und D'; C" und D" fallen mit 11" zusammen.
Geht man von der in E liegenden Ellipse zur Grundrißprojektion
über, dann folgen aus den Scheiteln A, B, C, D die Endpunkte A', B'
und C', D' rechtwinkliger konjugierter Durchmesser der im Grundriß
auftretenden Ellipse nach ~ 18 im VIII. Abschnitt. A', B' und C', D'
sind demnach die Scheitel dieser Ellipse selbst.
So kennt man beide Projektionen der in E liegenden Ellipse, denn
ihr Aufriß ist die gerade Strecke A"B".
Die eine Achse der Schnittellipse liegt nach dem Vorigen in der
Ebene Z, die andere Achse ist zu Z senkrecht und horizontal. Wesentlich ist dabei, daß die in Z liegende Achse stets die große Ellipsenachse ist. In ~~ 4 und 5 folgen zwei Beweise hierfür.
Die wahre Gestalt der Schnittellipse ergibt sich durch Umlegung um el in TT,. Man legt die Scheitel A, B, C, D und den Mittelpunkt M um. Will man die Ellipse mittels der Krümmungskreise ihrer
Scheitel konstruieren, so wendet man das Verfahren vom VIII. Abschn. ~ 4
an. (Zwar bietet der Meusniersche Satz ein sehr einfaches Mittel zur
Konstruktion der Krümmungsradien in den Scheiteln A und B der Schnitt9*