Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

130 Erster Teil. Mongesche Methode mit Grund- und Aufriß. ~ 2.
P ist die zu untersuchende Stelle der Kurve, welche in der abwickelbaren Fläche liegt. Man nimmt zwei benachbarte Kurvenpunkte im Abstand ds zu beiden Seiten von P an, P1 und P2. Dann bestimmen die
beiden als geradlinig aufgefaßten Linienelemente P P und PP2 den
dco
Kontingenzwinkel dco.1) Die Krümmung der Kurve bei P ist d.s Weiter
ist die Ebene von Pi, P und P2 die Schmiegungsebene des Kurvenpunktes P. In der abwickelbaren Fläche bestimmen die drei Punkte Pl, P, PS
drei erzeugende Geraden und damit zwei ebene Elementarstreifen.
Nun legt man um P eine Kugel vom Radius 1. Die Erzeugungsgerade der Fläche, welche durch P geht, liefert einen Durchmesser AB der
Kugel (Fig. 81, Taf. IV).2) Die Ebenen der beiden oben erhaltenen Elementarstreifen der Fläche liefern größte Kugelkreise, die sich in A und B
schneiden; im zweiten Fall ist nur ein Halbkreis dargestellt. Die beiden
Kugelradien, auf denen die unendlich kleinen Linienelemente PP1 und
und PP2 liegen, sind P Q und P Q2. Dem Q1 diametral gegenüber liegt R.
Dann ist <)RPQ2 der Kontingenzwinkel, oder der Bogen RQ2 stellt unmittelbar den Kontingenzwinkel der gegebenen Kurve für den Punkt P dar.
Bei Abwicklung der Fläche wird der zweite Elementarstreifen in die
Ebene des ersten gebracht. Dem entspricht auf der Kugel eine (unendlich kleine) Rotation des Halbkreises AQ2B bis in die Lage, welche den
Halbkreis AQ1B zu einem vollen Kreis ergänzt. So entsteht aus Q2 der
Punkt Q; auf dem Halbkreis ABB, und es ist Q B= Q B. Die Bahn
des Punktes, welcher um die Achse AB rotiert und dabei von Q2 nach
Q~ gelangt, ist kein größter Kugelkreis. Unter Q2 Q* soll aber der Bogen
eines größten Kreises verstanden werden, ebenso unter 1RQS. Dann ist
RQ QQ2 ein unendlich kleines sphärisches Dreieck. Es hat bei Q* einen
Winkel, der unendlich wenig von einem Rechten abweicht; das folgt aus
dem gleichschenkligen sphärischen Dreieck QBQ Q. Ferner ist der Winkel
bei RZ im Dreieck RQ2 Q2 bekannt: Die Ebene von R, P und Q, ist die
Schmiegungsebene der ursprünglichen Kurve, die Ebene von ARB ist die
Ebene des einen Elementarstreifens der Fläche und darf als Tangentialebene der Fläche in P gelten. So ist <C Q*RQ2 der Winkel zwischen
der Schmiegungsebene und der Tangentialebene, der im Anfang des Paragraphen mit a bezeichnete Winkel. Die zwei in R zusammenstoßenden
Seiten des sphärischen Dreiecks RQ1Q2 haben folgende Bedeutung. RQs
ist, wie schon ausgesprochen wurde, der Kontingenzwinkel der ursprünglichen
Kurve, RQ ist entsprechend der Kontingenzwinkel der abgewickelten Kurve.
Die Nepersche Regel für das rechtwinklige sphärische Dreieck gibt dann,
sobald man die Tangenten der kleinen Seiten durch die Bogen ersetzt:
R_______ Q = cos.
1) Im Bogenmaß. - 2) Die Figur ist in Orthogonalprojektion entworfen; erst
ein Grenzfall von ihr ist die eigentliche Figur.