Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

~~ 1-2. XII. Abschnitt. Ebene Schnitte des Rotationskegels. 129
gehen und dort eine gemeinsame Tangente haben. P sei weder für die Fläche,
noch für die beiden Kurven ein singulärer Punkt. Von den zum Punkt P
gehörigen Schmiegungsebenen der beiden Kurven gehe die eine durch die
Flächennormale hindurch, die andere bilde damit einen Winkel (p. Dann
ist der Krümmungsradius der zweiten Kurve gleich dem mit cos p multiplizierten Krümmungsradius der ersten. Dies ist der Meusniersche Satz.
Will man die Krümmungskreise der Kurven für den Punkt P einführen,
dann läßt sich der Satz so aussprechen: Der Krümmungskreis der zweiten
Kurve liegt auf der Kugel, welche den Krümmungskreis der ersten Kurve
als größten Kreis besitzt.
Man betrachtet zweitens einen Flächenpunkt P und alle durch ihn
hindurchgehenden und ganz auf der Fläche liegenden Kurven, deren
Schmiegungsebenen für P die Flächennormale enthalten. Unter den
Kriimmungsradien dieser Kurven für die Stelle P gibt es einen größten
und einen kleinsten (?R und R2), und zwar gehören diese zu zwei Kurven,
die sich in P rechtwinklig schneiden. Bildet dann in P die Tangente einer
der andern Kurven mit der Tangente der ersten Kurve den Winkel a, dann
-ist die Krümmung jener Kurve
1 cos2 a sin2cc
R R + R2
Das ist der Eulersche Satz. Hierbei sind aber -R1, R2 und R bei sattelförmiger Krümmung mit Vorzeichen einzuführen.
~ 2. Der Satz von Catalan. Auf einer abwickelbaren geradlinigen
Fläche liege eine Kurve. Ihre Krümmung für P sei -, die Schmiegungsebene für P bilde mit der Tangentialebene der Fläche den Winkel 9.
Wird dann die Fläche in die Ebene abgewickelt, so hat die abgewickelte
Kurve an der dem Punkt P entsprechenden Stelle die Krümmung - cos 9.
Zwei besondere Fälle sind zu nennen: 1. Die Rückkehrkante der abwickelbaren Fläche hat in jedem Punkt eine Schmiegungsebene, welche
dort zugleich die Fläche berührt, also ist = 0 und die Krümmung der
Rückkehrkante wird durch die Abwicklung nicht beeinflußt. -2. Wenn
im Punkt P der Kurve die Schmiegungsebene senkrecht zur Tangentialebene der Fläche steht, so wird durch die Abwicklung die Krümmung,an der entsprechenden Stelle 0, d. h. es entsteht durch die Abwicklung
i. a. ein Wendepunkt.')
Dieser Catalansche Satz fehlt in deutschen Büchern über die Krümmungstheorie von Flächen vielfach. Deshalb soll ein Beweis gegeben
werden, mit Benutzung der Geometrie des Unendlichkleinen.
1) Daraus kommt man auch zu den Wendepunkten in der Abwicklung des
ebenen Schnittes eines Kreiszylinders. In ~ 14 des vorigen Abschnittes wurden sie
~elementar erhalten.
F. v. Dalw i g k, darstellende Geometrie. I. 9