Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

128 Erster Teil. Mongesche Methode mit Grund- und Aufriß. ~ 17.
~ 17. Unmittelbare Bestimmung der Seiten eines Schnittpolygons.
Bisher wurde der Schnitt eines Körpers mit einer Ebene E in der Art
gesucht, dsß man die einzelnen Kanten des Körpers mit E zum Schnitt
brachte. (Kantenmethode.) So ergaben sich zuerst die Ecken des
Schnittpolygons. Ein anderes Verfahren beruht auf der Aufsuchung der
Seiten der Schnittfigur, indem man die Flächen des Körpers mit E zum
Schnitt bringt (Flächenmethode).
Ist ein schiefes Prisma gegeben, dessen Basis in ITT liegt und dessen
obere Endfläche zu TT1 parallel ist, so lassen sich die Schnittlinien der
Prismenflächen mit E nach dem II. Abschn. ~ 8 bestimmen (Fig. 80,
Taf. III).l) Als horizontale Hilfsebene H dient die Ebene der oberen Prismenfläche, darum kennt man von den Ebenen der einzelnen Mantelflächen
die Grundrisse der in H liegenden Spurparallelen. Man hat also nur noch
den Grundriß der Schnittlinie von E und H zu bestimmen; dann findet
man die beiden Projektionen der Schnittlinien von E mit den Ebenen der
Mantelflächen. Soweit eine solche Schnittlinie der betreffenden Prismenfläche angehört, ist sie Seite des Schnittpolygons. Damit würde man
jede Ecke des Schnittpolygons auf zwei Arten finden, wenn nicht gelegentlich einer oder der andere Hilfspunkt auf e1 oder auf der Spurparallelen
unzugänglich oder ungenau würde. Wo derartiges eintritt, kann man die
betreffende Seite der Schnittfigur meist dadurch gut bestimmen, daß man
einen ihrer schon auf andere Art gefundenen Endpunkte verwendet.
Ist statt des Prisma eine Pyramide gegeben, deren Basis in 1TT liegt,
so wählt man die Horizontalebene durch die Pyramidenspitze als Hilfsebene. Die Grundrisse der in dieser Ebene liegenden Spurparallelen der
einzelnen Pyramidenflächen gehen durch S' und sind zu den Basiskanten
der Pyramide parallel. Sonst ändert sich nichts an der ganzen Betrachtung.
XII. Abschnitt.
Ebene Schnitte des Rotationskegels.
Im folgenden werden die ebenen Schnitte des Rotationskegels und
die zugehörigen abgewickelten Kurven näher behandelt, in Rücksicht auf
das besondere mathematische Interesse, das sie bieten. Dabei wird meist
die Ebene senkrecht zu TTI genommen; auf diesen einfacheren Fall läßt
sich der allgemeine Fall z. B. iittels eines Seitenrisses zurückführen.
Einige Sätze aus der Krümmungstheorie, welche später verwendet
werden und zum Teil auch schon im vorigen Abschnitt vorkamen, sollen
hier zusammengestellt werden, ~~ 1, 2.
~ 1. Der Meusniersche und der Enlersehe Satz. Man betrachtet zwei
auf einer gegebenen Fläche liegende Kurven, welche durch einen Punkt P
1) Die Figur enthält i. w. die gegebenen Stücke.