Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

124 Erster Teil. Mongesche Methode mit Grund- und Aufriß. ~~ 13 ---14.
ausgehenden Mantelgeraden; die Aufrisse braucht man nicht. Die Einteilung ist so zu wählen, daß im Grundriß und im Seitenriß im allgemeinen
je zwei dieser Mantelgeraden eine gemeinsame Projektion erhalten, vgl.
die Figur. Nun ergeben sich unmittelbar im Seitenriß die Schnittpunkte
der Mantelgeraden mit der Ebene E und die Längen der auf den Mantelgeraden durch E abgeschnittenen Strecken, ebenso die Abstände der
Schnittpunkte von es. Das reicht aus, um die Umlegung der Schnittkurve zu zeichnen, man braucht dazu keineswegs erst die Grundrisse der
einzelnen Punkte der Schnittkurve, ganz wie im vorigen Paragraphen.
Die Zeichnung der umgelegten Ellipse führt man übrigens im wesentlichen
mittels der vier Scheitel aus, die Hauptachsen sind parallel und senkrecht
zu ei, wie aus den Symmetrieverhältnissen hervorgeht. Die 4n Teilpunkte
auf der Ellipse (in der Figur I-XII) braucht man für die Abwicklung.
~ 14. Fortsetzung. Die Ellipse ist ein Normalschnitt des Zylinders; alle
ihre Linienelemente stehen senkrecht zu den Mantelgeraden. In der Abwicklung wird deshalb die Ellipse geradlinig, man hat die näherungsweise
bestimmten Längen1) der Bogen zwischen den einzelnen Teilpunkten auf
einer Geraden aneinander zu reihen. Durch die einzelnen Teilpunkte
gehen die Mantelgeraden senkrecht hindurch. Die Punkte 1-12 des
Basiskreises trägt man dann in die Abwicklung ein mittels der aus dem
Seitenriß bekannten Längen der auf den Mantelgeraden durch die Ebene E
abgeschnittenen Strecken. Die ebenfalls aus dem Seitenriß bekannte gemeinsame Lange aller Mantelgeraden liefert Punkte des oberen Randes
der Mantelfläche (Fig. 78b).
Dann sind die beiden krummen Randlinien auszuziehen. Beide sind
zueinander kongruent und jede besteht selbst aus vier kongruenten Stücken.
In den Punkten 1 und 7 sind am Körper und deshalb auch in der Abwicklung die Kurvenelemente senkrecht zu den Mantelgeraden. In den
Punkten 4 und 10 der Abwicklung stoßen kongruente Kurventeile so zusammen, daß sie ohne Ecke ineinander übergehen und daß Wendepunkte
entstehen. Man erkennt dies ganz elementar auf folgendem Weg. Eine
Mantelgerade des Zylinders und ein an sie anstoßendes unendlich kleines
Element des Basiskreises bilden einen Winkel, der sich bei der Abwicklung
nicht ändert. Er ist zugleich der Winkel zwischen der Mantelgeraden
und der zu ihrem Spurpunkt gehörigen Tangente des Basiskreises. Dieser
Winkel liegt im Intervall von 90~ bis y (mit Einschluß der Grenzen),
wenn y der Neigungswinkel der Zylinderachse gegen TT ist. Für die
Stellen 4 und 10 des Basiskreises tritt das Minimum des Winkels ein.
1) Diese Bestimmung erfolgt wie bei Kreisbogen in ~ 3 des Abschn. über Kreisrektifikation im Anhang. Man braucht im Falle der Figur nur drei Längen zu bestimmen, weil bei den andern Quadranten der Ellipse dieselben Längen wiederkehren. Natürlich greift man jede Länge in mehreren Quadranten ab.