Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

~~ 8-9. XI. Abschn. Ebene Schnitte d. Körper, besonders d. ebenflRch. Körper. 121
Parallelogramm SU WZo. WZo steht senkrecht auf e1 und ist gleich
US~ = US = WZ. Demnach ist Zo die Umlegung von Z für Drehung
der Ebene E um e1. Die entsprechende Umlegung PO von P liegt auf
WZo und steht von W um die Strecke TVP ab.
Der Schnittpunkt von QS~ mit WZo werde für den Augenblick X
genannt, dann ist aus einer ebenen Figur in TTi WX: US~ - Q W: Q U.
Aus einer Figur in der Ebene von SUWZ folgt andererseits WP: US
= Q W: Q U. Aus beiden Proportionen findet man l WX == WP, d. h. X
liegt an derselben Stelle wie die Umlegung P, von P. Demnach liegen
S~, P, und Q in gerader Linie.
Hat man jetzt statt des einzelnen Punktes P irgend eine Figur in
der Ebene E und ist sie durch Zentralprojektion von S aus auf iTT abgebildet, dann hängen die Umlegung der in E liegenden Figur und die
Bildfigur so zusammen, daß entsprechende Punkte auf Geraden durch SO
liegen und daß entsprechende Geraden sich auf e, treffen. So besteht
nach der Umlegung perspektivische Kollineation zwischen der Figur in E
und dem Bild; S~ ist das Kollineationszentrum und e, ist die Kollineationsachse.
Die früher ausgesprochene Behauptung, daß während der Drehung
der in E liegenden Figur um e, beständig perspektivische Kollineation
zwischen dieser Figur und der Bildfigur besteht, wird ganz entsprechend bewiesen. Man faßt dazu das Parallelogramm SUWZ als Gelenkparallelogramm
aus Stäben auf und läßt es sich so bewegen, daß S in der Ebene H den
Kreisbogen nach SO beschreibt. Dann greift man irgend eine bei dieser
Bewegung vorkommende Lage des Gelenkparallelogramms heraus; es folgt
wie oben aus Proportionen, daß die Verbindungslinie des gedrehten Punktes S
mit Q die gedrehte Seite WZ in dem Punkt trifft, welcher durch Drehung
aus P hervorgeht
~ 9. Eintragung der Schlittfiglr in die Abwicklung des Pyramnidenmantels (Fig. 75). Die Abwicklung erhält man nach dem VI. Abschn. ~ 1.
Dann braucht man noch für jede von S ausgehende Kante die wahre
Länge eines der beiden Stücke, in welche sie durch ihren Schnittpunkt
mit E geteilt wird. Diese beiden Strecken stehen in demselben Verhältnis
wie ihre Aufrißprojektionen. Trägt man demnach die gemeinsame wahre
Länge dieser Kanten der regelmäßigen Pyramide so ab, daß man eine
Strecke zwischen S" und einem Punkt der Projektionsachse erhält, dann
findet man auf dieser Hilfslinie durch Parallelen zur Projektionsachse die
sämtlichen nötigen Längen'). Daraus erhält man die abgewickelte Schnittfigur; man kann noch berücksichtigen, daß die verlängerten Seiten der
Schnittfigur die verlängerten Basiskanten in Punkten treffen, die aus dem
1) In Figur 75 sind diese Hilfslinien weggelassen, weil die Figur sonst undeutlich
würde. - Dasselbe Verfahren ist im VI. Abschn. ~ 10 angewendet.