Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

~~ 6-7. XI. Abschn. Ebene Schnitte d. Körper, besonders d. ebenfläch. Körper. 119
Die wahre Gestalt der Schnittfigur folgt am einfachsten durch Umlegung um e1. Die senkrechten Abstände der Ecken und des Diagonalenschnittpunktes des Vierecks von e1 sind aus demi Aufriß bekannt. Man
kann deshalb jeden dieser fünf Punkte einzeln umlegen. Die Seiten des
umgelegten Vierecks müssen dann durch die auf e gefundenen Punkte
gehen, ebenso gehen die verlängerten Diagonalen durch die Schnittpunkte
von e1 mit den Verlängerungen von AC und BD.
Damit ist die perspektivische Affinität der Umlegung zum Grundriß
des Schnittvierecks berücksichtigt. Ein weiterer wichtiger Zusammenhang ist jetzt zu besprechen, ~~ 7, 8. - Die Abwicklung folgt in ~ 9.
~ 7. Die perspektivische Kollineation zwischen der Schnittfigur und
der Pyramidenbasis, und ihr Fortbestehen bei Drehung der Ebene E.
Die Pyramidenbasis und das Schnittviereck sind einander im Raum so
zugeordnet, daß entsprechende Ecken auf den Pyramidenkanten, d. h. auf
Geraden liegen, die durch S gehen. So sind diese zwei ebenen Figuren
aufeinander zentralperspektivisch bezogen für das Zentrum S. Eine Folge
dieser Zuordnung ist, daß entsprechende Geraden beider Figuren sich
auf ei treffen. Dies ist im vorigen Paragraphen besprochen und für
die Konstruktion verwendet worden. Es folgt, daß der Grundriß der
Schnittfigur dem Basisquadrat so entspricht, daß zusammengehörige Ecken
auf Geraden durch S' liegen und daß zusammengehörige Seiten sich auf e1
treffen. Man spricht daher von zentralperspektivischer (oder zentralkollinearer) Zuordnung beider in Tf1 liegender Figuren.
Dreht man nun die in E liegende Figur umi e, indem man sie mit e1
starr verbunden denkt, dann bleibt natürlich das Zusammentreffen entsprechender Seiten auf es erhalten, und es gilt auch noch, nachdem die
Schnittfigur in TTF gelangt ist. Ferner gilt aber der Satz, daß während
dieser Bewegung die Verbindungslinien entsprechender Punkte beider
Figuren immer durch ein Zentrum gehen, welches sich in einfacher Art
mitbewegt. Und zwar rotiert dieses bewegliche Kollineationszentrum
um eine in TT1 liegende Achse a, die zu er parallel ist und in der durch
S zu E parallelen Ebene liegt. Die Winkelgeschwindigkeit der Rotation
des Zentrums ist dieselbe wie bei der bewegten Ebene. Sobald die gedrehte Schnittfigur in TT1 gelangt, befindet sich dieses mitbewegte Zentrum auch in TT1.
Demnach ist die Stelle S~ von TT1, wohin ein ursprünglich mit S
zusammenfallender Punkt bei der angegebenen Rotation um ca gelangt,
Kollineationszentrum für die umgelegte Schnittfigur und die Pyramidenbasis, d. h. entsprechende Punkte beider Figuren (entsprechende Ecken
*oder das Paar K0, S') liegen auf Geraden, welche durch SO gehen.
Der Beweis für diesen Zusammenhang in der Ebene TTI wird im
nächsten Paragraphen zuerst gegeben; nur dieser Satz wird im folgenden