Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

112 Erster Teil. Mongesche Methode mit Grund- und Aufriß. ~~ 12-14.
entspricht im Dreieck PQR der Fußpunkt F des gesuchten Lotes. Seinen
Grundriß F' findet man aus der Affinität: F' liegt auf g' und F'oF' ist
parallel zu RB'R', d. h. senkrecht zu s'. Aus F' folgt F' auf g" und
damit sind beide Projektionen des Lotes bestimmt. Die wahre Länge des
Lotes ist schon gefunden, sie ist P'Fo'.
Derselbe Gedanke läßt sich verwenden, wenn statt des Lotes eine
Gerade durch P gesucht ist, welche entweder g unter einem gegebenen
Winkel schneidet oder g in gegebener Entfernung von P trifft.
~ 13. Der umbeschriebene Kreis eines Dreiecks. Ein Dreieck ABC
ist durch beide Projektionen gegeben. Gesucht sind der Mittelpunkt M,
der Radius r und die Projektionen des umbeschriebenen Kreises. Man dreht
wie in ~ 9 das Dreieck um eine Spurparallele erster Art, bis es zu TT- parallel
ist und zeichnet den Grundriß Ao B0 C,' dieser neuen Lage. A'B'C'
und Ao'Bo'C,' sind perspektivisch affin, deshalb ist der Grundriß M' des
gesuchten Kreismittelpunktes der affine Punkt zu dem Mittelpunkt io'
des dem Dreieck Ao'Bo' C' umbeschriebenen Kreises. Die Konstruktion von
M' erfolgt nach dem IV. Abschn. ~ 8, weiter findet man leicht M".
Von den Projektionen des dem Dreieck ABC umbeschriebenen Kreises
kennt man jetzt die Mittelpunkte M' und M", weiter fällt die große
Achse der Grundrißellipse auf die Grundrißprojektion einer Spurparallelen
erster Art des Dreiecks, und entsprechendes gilt für die große Achse der
Aufrißellipse. Ferner sind die Längen der großen Halbachsen gleich dem
gefundenen Radius. Die Längen der kleinen Halbachsen braucht man
nicht aus den Neigungswinkeln zu konstruieren, sondern daraus, daß die
Ellipsen durch A', B', ' bzw. A", B", C" hindurchgehen (VIII. Abschn.
~~ 9, 11).
Die Aufgabe, einen geraden Kreiskegel zu zeichnen, zu dem
drei Punkte des Basiskreises und die Höhe gegeben sind, ist damit auch gelöst.
~ 14. Bestimmung des Punktes P, welcher von drei gegebenen Punkten
A, B, C gegebene ungleiche Abstände besitzt. Man sucht die wahre Gestalt des Dreiecks ABC und erhält daraus nach dem VI. Abschn. ~ 2 die
Länge und den Fußpunkt F der von P ausgehenden Höhe des Tetraeders. Diese Konstruktion kann man in besonderer Figur machen, etwas
kürzer ist es, sie an AQ 'Bo C anzuschließen, auch erreicht man dann durch
das Wegfallen von Übertragungen größere Genauigkeit. Weiter ist aus
dem im Dreieck Ao'B' Co' befindlichen Fo' der affine Punkt F' und daraus
F" zu bestimmen, und dann folgt P als Endpunkt des im Punkte F auf
der Ebene des Dreiecks ABC errichteten Lotes von bekannter Länge.
Ein anderes Verfahren zur Lösung dieser Aufgabe wird später betrachtet (XVI. Abschn. ~ 14).