Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

~~ 9-12. X. Abschnitt. Konstruktionen unter Vermeidung der Ebenenspuren. 111
von AoBCo und ABC zu den Grundrissen Ao'B'Co' und A'B'C' über, so
bleibt diese Affinität erhalten.
Die Bestimmung des Neigungswinkels c2 der Dreiecksebene gegen rTT
und das Paralleldrehen des Dreiecks zu TT2 bieten nichts Neues.
~ 10. Benutzung eines Neigungswinkels beim Errichten eines
Lotes. Soll in einem Punkt P des Dreiecks ABC ein Lot von gegebener Länge auf der Ebene des Dreiecks errichtet werden, und ist
einer der beiden Neigungswinkel schon vorher gefunden, so kann man
die Längenabtragung auf den Projektionen der nach ~ 7 erhaltenen unbegrenzten Senkrechten mittels des bekannten Neigungswinkels machen,
wie im I. Abschn. ~ 12 besprochen ist.
~ 11. Der Winkel zwischen einer Geraden und der Ebene eines Dreiecks. Man fällt von einem Punkt P der Geraden g ein Lot auf die Ebene
des Dreiecks, g und das Lot schließen den Komplementwinkel des gesuchten Neigungswinkels ein (III. Abschn. ~ 8). Die wahre Größe dieses
Komplementwinkels findet man nach dem II. Abschn. ~ 25, indem man
das aus P und den Grundrißspurpunkten von g und 1 gebildete Dreieck
in lTT umlegt. Statt dessen wird es häufig besser sein, eine geeignete
Horizontalebene H einzuführen, das aus P und den Schnittpunkten von
g und i mit H gebildete Dreieck in H umzulegen und die Grundrißprojektion dieser neuen Lage zu zeichnen (vgl. ~ 9). - Wesentlich umständlicher wäre die Bestimmung der wahren Gestalt des Dreiecks PSF,
wo S der Schnittpunkt von g und der Dreiecksfläche, F der Fußpunkt
des von P auf die Ebene des Dreiecks gefällten Lotes ist.
Die Aufgabe findet u. a. Anwendung bei Aufsuchung der Helligkeit
beleuchteter Flächen eines Körpers, vgl. den Anhang.
~ 12. Das Fällen des Lotes auf eine Gerade und verwandte Aufgaben. Im III. Abschn. ~ 7 wurde die Aufgabe behandelt, von einem
Punkt P ein Lot auf die Gerade g zu fällen. Ein anderes wesentlich
kürzeres Verfahren zur Lösung ist folgendes. (Die gegebenen Stücke zur
Figur kann man leicht passend wählen.)
P und g bestimmen eine Hilfsebene E; in dieser Ebene legt man
eine Spurparallele erster Art s durch den Punkt P. s" ist parallel zur
Achse und schneidet g" in Q, daraus folgt Q' auf g', und P'Q' ist s'.
Weiter nimmt man auf g noch einen beliebigen Punkt B an; dann hat
man in der Ebene E ein Dreieck PQR, dessen Seite QR auf g liegt.
Das von P auf g gefällte Lot ist demnach die von P ausgehende Höhe
im Dreieck PQR. Um diese zu konstruieren, bestimmt man die wahre
Gestalt des Dreiecks wie in ~ 9. Dabei liegen jetzt P und Q auf der
Spurparallelen s,. so daß nur der Punkt R um diese Spurparallele zu
drehen ist. Im Dreieck P'Q'BR' zieht man die Höhe P'Fo'; dem Fo'