Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

~~ 2-4. X. Abschnitt. Konstruktionen unter Vermeidung der Ebenenspuren. 107
1 schneidet die Seiten des Dreiecks in drei Punkten HI, 1, K, deren
Grundrisse unmittelbar bekannt sind und deren Aufrisse man deshalb auf
den Aufrissen der betreffenden Dreiecksseiten findet. Durch H", 1", K"
geht 1". Oft wird man zur Bestimmung von 1" nur zwei von den Punkten
1, I, K benutzen.
~ 3. Der Punkt in der Ebene eines Dreiecks. Neben A'B'C' und
A"B"C" ist jetzt noch die eine Projektion eines Punktes in der Ebene
des Dreiecks gegeben, etwa P' (Fig. 70). Um die andere Projektion
zu suchen, benutzt man - ganz wie im II. Abschn. ~ 5 - eine durch
P gehende Gerade 1 der Ebene, deren Grundriß l' man passend wählt.
Daraus folgt 1", und P" liegt auf i" und senkrecht über P'. Häufig
legt man I durch eine Ecke des Dreiecks ABC, was die Konstruktion vereinfacht.
Nach dem V. Abschn. ~ 3 sind A'B'C' und A"B"C" perspektivisch affine
Dreiecke in der Zeichnungsfläche; die Affinitätsachse ist im allgemeinen
schief zur Projektionsachse, die Verbindungslinien affiner Punkte sind zur
Projektionsachse senkrecht. Wendet man zur Bestimmung des P" aus P'
das Verfahren vom IV. Abschn. ~ 8 an, so hat man genau die eben besprochene Konstruktion.
~ 4. Der Schnittpunkt einer Geraden mit der Ebene eines Dreiecks.
Man betrachtet eine der projizierenden Ebenen von g, z. B. die Ebene durch g
und g' (Fig. 70). Sie schneidet die Ebene des Dreiecks in einer Hilfslinie 1, deren Grundriß mit g' zusammenfällt. Aus l' findet man Z" (~ 2).
Der Schnittpunkt von g und der Dreiecksebene liegt zugleich auf g und 1,
d. h. P" ist der Schnitt von g" und 1". Daraus folgt P' auf g'. Auch
kann man P' selbständig bestimmen mit Hilfe der anderen projizierenden
Ebene von g, d. h. der Ebene durch g und g"; die betreffenden Hilfslinien sind in der Figur nicht eingetragen.')
Wenn die Dreiecksfläche als undurchsichtig gilt, so ist von
oben gesehen ein Stück von g unsichtbar. Es liegt nicht etwa immer auf
der unteren Hälfte von g. Sein Anfangspunkt ist P, sein Endpunkt liegt
vertikal unter einer Dreiecksseite, d. h. hier entweder unter AB oder
unter AC. Wenn die Entscheidung hierüber nicht unmittelbar aus der
Anschauung folgt, kann man nach dem I. Abschn. ~ 6 prüfen, ob g über
1) Es kommt im Grunde gar nicht darauf an, daß der Schnittpunkt von g mit
der Ebene des Dreiecks ins Innere des Dreiecks fällt. Fordert man dies aber und
will man die gegebenen Stücke zu einer solchen Figur selbst wählen, so muß natürlich g' den Grundriß, g" den Aufriß des Dreiecks durchkreuzen. Aber das ist nicht
ausreichend; man wird daher, wenn A'B'C' und A"B "C" angenommen sind, zuerst
nur g' annehmen, dann 1" suchen und nun erst g" in der Art wählen, daß P" an
eine passende Stelle kommt. Entsprechendes gilt überhaupt für die Wahl gegebener
Stücke in sehr vielen Fällen.