Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

~~ 20-21. VIII. Abschnitt. Die Ellipse als persp. affine Kurve des Kreises usw. 99
Wie in ~ 18 erhält man auch leicht Sätze über die perspektivisch
affine Abbildung einer Hyperbel oder Parabel in einer einzigen Ebene.
Die Möglichkeit einer Ableitung von Eigenschaften der allgemeinen
Hyperbel aus denen der gleichseitigen Hyperbel mittels der Orthogonalprojektion und allgemeinen Parallelprojektion sei erwähnt. Außerdem
muß noch ausgesprochen werden, daß man bei einer Hyperbel Paare
konjugierter Durchmesser mit reellen Endpunkten erhält, indem man die
konjugierte Hyperbel hinzunimmt. Die Konstruktion einer Hyperbel aus
gegebenen konjugierten Durchmessern erfordert aber keinerlei entsprechende
Betrachtungen zu ~~ 13-14. Denn die Endpunkte konjugierter Durchmesser sind die Ecken eines Parallelogramms, dessen Seiten zu den
Asymptoten parallel sind, und die weitere Konstruktion ist einfach (auch
die Scheitel und damit die Halbachsenlängen kann man genau finden).
~ 21. Konstruktionen der Kegelschnitte mittels projektiver Strahlbüschel lassen sich in besonderen Fällen recht einfach auf Grund der
Affinität finden. Für die Ellipse geht man dabei aus von zwei Strahlbüscheln beim Kreis, deren Zentra in den Endpunkten eines Kreisdurchnmessers liegen. Die Figur ist leicht auf folgende Art zu entwerfen. Die
Endpunkte A und B des wagerechten Kreisdurchmessers sollen als Zentra
der projektiven Büschel dienen. CD ist der senkrechte Durchmesser,
M der Kreismittelpunkt. Die Kreistangenten in B und D schneiden sich
in E. Die Strahlbüschel mit den Zentren A und B sind durch den Kreis
einander projektiv zugeordnet, entsprechende Strahlen sind aufeinander
rechtwinklig. Deshalb sind durch entsprechende von A und B ausgehende
Strahlen auf den Geraden MD und ED Punkte F und G bestimmt in der
Art, daß die Dreiecke AMF und BEG kongruent sind. Werden demnach
MD und ED je in n gleiche Teile geteilt und werden die Teilpunkte so
numeriert, daß die Ziffern 0 und n auf MID bei M und D stehen und auf ED
bei E und D, dann liefern entsprechende Punkte von MD und ED
durch Verbinden mit A und B Strahlen der projektiven Büschel und
damit auf dem Viertelkreis von B bis D außer B und D noch n - 1
Punkte. (Auch auf den anderen Teilen des Kreises erhält man Punkte,
indem man die Teilungen auf den Geraden MD1 und ED fortsetzt.) Wird
dann die ganze Figur perspektivisch affin umgeformt - durch räumliche Parallelprojektion oder in einer Ebene -- dann kommt man
zur Erzeugung einer Ellipse aus projektiven Strahlbüscheln. Dabei
liegen die Zentra beider Büschel entweder in zwei gleichartigen Scheiteln
der Ellipse oder in den Endpunkten eines allgemeinen Durchmessers
derselben; weiter erhält man zusammengehörige Strahlen beider Büschel
sofort mittels ähnlicher projektiver Punktreihen auf zwei einfach an
zugebenden Geraden. Auch eine wenig bekannte Tangentenkonstrukti.o.
für jeden entstehenden Ellipsenpunkt läßt sich leicht entwickeln. Die
7*