Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

~~ 17-19. VIII. Abschnitt. Die Ellipse als persp. affine Kurve des Kreises usw. 97
einen Punkt der Bildfigur (z. B. durch M,) und bestimmt die affine Gerade g. Dann hat man nur noch zu g eine parallele Tangente t an den
Kreis kc zu ziehen; die zugehörige Gerade in der Bildfigur ist die gesuchte Ellipsentangente, sie geht aus vom Schnittpunkt der Kreistangente
mit der Affinitätsachse und ist zu gl parallel.
~ 18. Parallelprojektion einer Ellipse; die affine Kurve zu einer
Ellipse. Ist in irgend einer Ebene eine Ellipse gegeben und projiziert
man sie rechtwinklig oder schief durch parallele Strahlen auf eine andere
Ebene, so bilden die Projektionsstrahlen einen elliptischen Zylinder und
die Projektion ist deshalb auch eine Ellipse. Wieder entspricht jedem
Paare konjugierter Durchmesser der ursprünglichen Ellipse ein Paar konjugierter Durchmesser der Projektion. Insbesondere erhält man als zugeordnete Punkte der vier Ellipsenscheitel die Endpunkte eines Paares
konjugierter Durchmesser der Projektionsellipse. Dies wird später bei
Darstellung elliptischer Schnitte des Rotationszylinders und Rotationskegels verwendet.
Durch entsprechende Betrachtung wie im Anfang von ~ 17 beweist
man aus den eben aufgestellten Sätzen folgendes: Bei allgemeiner perspektivischer Affinität in einer Ebene geht aus einer Ellipse
wieder eine Ellipse hervor. Dabei sind die Mittelpunkte zugeordnete
Punkte und jedes Paar konjugierter Durchmesser der ersten Ellipse liefert
ein Paar konjugierter Durchmesser der zweiten.
~ 19. Anwendang zur Konstruktion einer Ellipse aus konjugierten
Durchmessern. Durch die Endpunkte eines jeden der beiden konjugierten
Durchmesser zieht man Parallelen zu dem anderen Durchmesser. Das entstehende Parallelogramm umschließt die Ellipse und berührt sie in den
Endpunkten der beiden Durchmesser, d. h. in den Mitten seiner Seiten.
An eine Parallelogrammseite figt man außen ein Quadrat an. Dann lassen
sich die beiden Vierecke als perspektivisch affine Parallelogramine in derselben Ebene auffassen; die gemeinsame Seite liegt auf der Affinitätsachse
und die Affinität ist durch beide Vierecke völlig bestimmt. Darum hat
die Ellipse, deren konjugierte Durchmesser gegeben sind, eine eindeutig
bestimmte zugeordnete Ellipse. Diese wird von den Quadratseiten in
deren Mitten berührt und hat deshalb ein Paar rechtwinkliger und gleich
langer Durchmesser. Sie ist ein Kreis. Damit hat man den Satz:
Beschreibt man dem oben eingeführten Quadrat einen Kreis ein, so
ist er die perspektivisch affine Kurve zur Ellipse mit den gegebenen konjugierten Durchmessern.
Nun läßt sich die Ellipse nach ~ 17 konstruieren. Das Parallelogramm und das Quadrat waren nur zum Beweis nötig. Die Konstruktion
wird einfach so:
F. v. D alwigk, darstellende Geometrie. I. 7