Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

~~ 16-17. VIII. Abschnitt. Die Ellipse als persp. affine Kurve des Kreises usw. 95
(Vgl. IV. Abschn. ~ 5.) Ferner ist die Ellipse in TTI perspektivisch affin
zur Umlegung k0 des Kreises um el (IV. Absehn. ~ 3). Die Grundrißspur e, der Ebene des Kreises ist in allen drei Fällen die Affinitätsachse. Bei jeder der beiden affinen Beziehungen in iTT sind die Verbindungslinien zugeordneter Punkte untereinander parallel, aber im allgemeinen schief zur Affinitätsachse el.
Die perspektivische Affinität der Ellipse zur Umlegung hk0 des
Kreises k wird zur Konstruktion der Ellipse verwendet, wie in ~ 17 näher
ausgeführt wird.
~ 17. Konstruktion der Ellipse, welche zu einem Kreis in derselben
Ebene perspektivisch affin ist. In einer einzigen Ebene sind eine Affinitätsachse s und ein Paar zugeordneter Punkte gegeben. Hiermit ist zu
jeder Figur in der Ebene eine perspektivisch affine Figur eindeutig bestimmt (IV. Abschn. ~ 7). Gesucht ist die Kurve, welche 'einem Kreis
entspricht.
Denkt man sich den Kreis um s gedreht, so hat man nach IV. Absch.
~ 4 eine perspektivisch affine räumliche Zuordnung zwischen dem Kreis
und der Kurve. Deshalb ist nach dem vorigen Paragraphen die Kurve
eine Ellipse. Weiter entsprechen nach dem vorigen Paragraphen dem
Mittelpunkt und rechtwinkligen Durchmessern des gedrehten Kreises der
Mittelpunkt und konjugierte Durchmesser der Ellipse; beim Zurückdrehen
des Kreises in die ursprüngliche Lage bleibt diese Zuordnung erhalten.
Die in der Ebene gegebene perspektivische Affinität liefert
deshalb aus einem Kreis eine Ellipse, dabei gehört zum Kreismittelpunkt der Ellipsenmittelpunkt, und jedes Paar rechtwinkliger Kreisdurchmesser liefert ein Paar konjugierter
Durchmesser der Ellipse.
Hiernach läßt sich die Ellipse auf zwei Arten konstruieren:
Irgend ein Paar rechtwinkliger Kreisdurchmesser gibt ein Paar konjugierter Ellipsendurchmesser, und nach ~ 13 erhält man die Hauptachsen
der Ellipse.
Kürzer und besser ist die unmittelbare Bestimmung der Hauptachsen (Fig. 67).
Unter der Gesamtheit aller Paare konjugierter Ellipseildurchmesser
gibt es ein rechtwinkliges Paar, das sind die Hauptachsen der Ellipse. Zu
ihrer Bestimmung hat man nur durch M ein Paar rechtwinkliger Strahlen
so zu legen, daß ihnen wieder rechtwinklige Strahlen durch M1 entsprechen.
Man errichtet dazu auf der Verbindungslinie von M und M] in ihrer
Mitte ein Lot und zeichnet um den Schnittpunkt dieses Lotes mit der
Affinitätsachse einen Kreis durch M und Mi. Die Schnittpunkte A und B
dieses Kreises mit s liefern zwei Verbindungslinien mit M, die rechtwinklig sind, und ebenso zwei zueinander rechtwinklige Verbindungs