Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

94 Erster Teil. Mongesche Methode mit Grund- und Aufriß. ~~ 14-16.
ebenso einfach zu den Richtungen und Größen der Hauptachsen. Nur
werden die Beweise anders und etwas weniger einfach, wenigstens wenn
man sich auf elementare planimetrische Behandlung beschränken will.
Näher soll darauf hier nicht eingegangen werden. Nur eine Angabe ist
noch nötig. Die Konstruktionen von ~ 13 wurden beide weniger genau,
wenn S und P einander recht nahe kamen. Man könnte meinen, daß
dann die neuen Konstruktionen (mit S statt S) größere Genauigkeit
geben. Es ist aber nicht der Fall. Denn die Mitte von PS ist dann
recht nahe an M gelegen, und das bewirkt beim weiteren Konstruieren
Ungenauigkeiten, gleichwertig mit denen, welche bei den ursprünglichen
Konstruktionen auftreten. Das beste Verfahren, wenn S und P sehr nahe
aneinander liegen, ist die im vorigen Paragraphen besprochene ähnliche
Vergrößerung der Figur.
~ 15. Zusatz. Die Ellipsentangente im Endpunkte P des Halbmessers JMP ist parallel zum konjugierten Halbmesser MP, (Fig. 66). Die
Normale des Punktes P ist deshalb senkrecht zu MP1 oder parallel zu
MS. Trägt man auf der Verlängerung von M1Q das Stück QL = b
(= MI) ab, so ist MPLS ein Parallelogramm, und darum PL die
Normale der Ellipse für den Punkt P.
Dieser Satz läßt sich zu Konstruktionen verwenden. Doch wird man
im allgemeinen, wenn nicht gerade konjugierte Halbmesser vorliegen, die
Normale des Ellipsenpunktes P als Senkrechte zu der Tangente von P
zeichnen, wobei die Tangente nach ~ 2 bestimmt wird.
~ 16. Die schiefe Parallelprojektion eines Kreises. Wird ein in geneigter Ebene liegender Kreis durch parallele Strahlen von beliebiger Richtung auf TTI projiziert, so bilden die Projektionsstrahlen einen Zylinder
zweiter Ordnung und zwar einen elliptischen Zylinder. Sein Schnitt mit
TT1, die schiefe Parallelprojektion des Kreises, ist eine Ellipse.1) Irgend ein
Paar rechtwinkliger Durchmesser des Kreises liefert durch die Projektion
ein Paar Ellipsendurchmesser, von denen jeder die zum andern parallelen
Sehnen halbiert, d. h. ein Paar konjugierter Durchmesser der Ellipse.
Damit ist ein Weg zur Konstruktion der schiefen Parallelprojektion eines
in geneigter Ebene liegenden Kreises gegeben.
Die Ellipse ist perspektivisch affin zu dem Kreis im Raum und sie
ist in der Ebene ITT perspektivisch affin zu dem Grundriß k' des Kreises.
1) Die Anknüpfung an bekannte Sätze über Flächen zweiter Ordnung ist hier
das einfachste. Andererseits kann man die schiefe Parallelprojektion eines Kreises
als Ellipse erweisen durch Ausgehen von den Transformationsformeln für die Koordinaten in beiden Ebenen, vgl. den IV. Abschnitt ~ 10.