Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

~~ 12-13. VIII. Abschnitt. Die Ellipse als persp. affine Kurve des Kreises usw. 91
~ 12. Über konjugierte Durchmesser der Ellipse. Zwei rechtwinklige Durchmesser des in der geneigten Ebene E liegenden Kreises k
werden betrachtet. Jeder halbiert die zum andern parallelen Sehnen.
Im Grundriß entsprechen den Durchmessern zwei im allgemeinen nicht
rechtwinklige Durchmesser der Ellipse 1i', von denen wieder jeder die
zum andern parallelen Sehnen halbiert. Solche Durchmesser heißen
konjugierte Durchmesser der Ellipse. Es ist leicht einzusehen,
daß es zu jedem Ellipsendurchmesser einen konjugierten Durchmesser
gibt. Denn man kann einen der zwei rechtwinkligen Kreisdurchmesser
so wählen, daß sein Grundriß ein beliebig gegebener Ellipsendurchmesser ist.
Die in den Endpunkten eines Kreisdurchmessers gezogenen Tangenten
sind parallel zu den vom Durchmesser halbierten Sehnen. Diese Eigenschaft bleibt bei der Projektion erhalten. Die Tangenten in den
Endpunkten eines Durchmessers der Ellipse sind deshalb
parallel zu dem konjugierten Durchmesser.
Ist wie in ~ 2 der Kreis kc so gewählt, daß sein Mittelpunkt auf
ei liegt, dann ist die Umlegung k0 von k7 in TT1 der umbeschriebene
Kreis der Ellipse. Zwei rechtwinklige Durchmesser des Kreises k, denen
ein Paar konjugierter Durchmesser von k' entsprechen, geben bei der
Jmlegung zwei rechtwinklige Durchmesser von ke, welche zu den konjugierten Durchmessern von k' perspektivisch affin sind. Dabei sind die
Verbindungslinien entsprechender Punkte senkrecht zu e1 sind. Daraus
ergibt sich eine Figur, welche in Fig. 66 enthalten ist und worin die
Bezeichnung entsprechend zu Fig. 62 in ~ 2 gewählt ist:
3MQ und MQ 'isind rechtwinklige Halbmesser des Kreises, welcher
der gegebenen Ellipse umgeschrieben ist. Von Q und Q9 werden Senkrechten zur großen Ellipsenachse gezogen, bis sie die Ellipse in P und
P, schneiden.1) Dann sind MJP und MP1 konjugierte Halbmesser der
Ellipse. (Die Tangenten in P und P1 sind parallel zu MP1 und zu MIP.)
- Die Figur zeigt, daß konjugierte Ellipsendurchmesser sich
schiefwinklig durchschneiden, sobald sie nicht mit dem Hauptachsen zusammenfallen. Weiter zeigt sie, daß der stunpfe
Winkel zwischen konjugierten Durchmessern durch die kleine
Ellipsenachse geteilt wird.
Die Figur gibt auch den Weg an, wie man zu einem gegebenen Durchmesser der Ellipse den konjugierten findet: Man
bestimmt aus P zunächst Q, daraus Q1, dann P1.
~ 13. Konstruktion der Ellipse aus konjugierten Durehmessern.
Die Aufgabe, aus gegebenen konjugierten Durchmessern einer Ellipse
die Lage und Größe der Hauptachsen und damit überhaupt die Ellipse
1) Natürlich konstruiert man P und P1 noch genauer nach ~ 2 (Fig. 62).