Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

86 Erster Teil. Mongesche Methode mit Grund- und Aufriß. ~~ 5-7.
Aus den Scheiteln der Ellipse erhält man die Brennpunkte sofort.
Ferner ist die halbe Länge der im Brennpunkt auf der großen Achse
senkrechten Sehne gleich dem Krümmungsradius für den Scheitel der
großen Achse, wie man analytisch sofort findet. Deshalb ist in jedem
Quadranten der Ellipse noch ein Kurvenpunkt unmittelbar bekannt. Auch
den Schnittpunkt der zugehörigen Tangente mit der verlängerten großen
Ellipsenachse findet man leicht (nach Fig. 62 oder aus der Polarentheorie).
Doch hat die Benutzung dieses Kurvenpunktes und seiner Tangente kein
praktisches Interesse.
~ 6. Elementare Herleitung der Werte der Krmmnningsradien für die
Scheitel. Der Schnittpunkt der Normalen eines dem Scheitel A naheliegenden Punktes P mit der Hauptachse AB wird im Grenzfall, wenn P nach A
rückt, zum Krümmungsmittelpunkt von A. Die Normale von P halbiert
den Winkel zwischen den beiden nach P gehenden Brennstrahlen; die
Tangente und Normale von P sind zu den beiden Brennstrahlen harmonisch. Demnach sind die Schnittpunkte der Tangente und Normale
mit der großen Achse der Ellipse harmonisch zu den beiden Brennpunkten.
Rückt nun P nach A, dann rückt der Schnittpunkt der Tangente von P
mit der großen Achse ebenfalls nach A. So ist der Krümmungsiittelpunkt K1 des Scheitels A der vierte harmonische Punkt zu den beiden
Brennpunkten und A selbst. Das Produkt von K l31 und AM ist demnach = c2, d. h. es ist K M -. Der Krümmungsradius für den Scheitel A
a
ist AKT oder a- K M oder t. (c ist ]/a2 — 2.)
Für den Scheitel C der kleinen Achse erhält man den Krüimmungsmittelpunkt wieder als Grenzlage des Schnittpunktes der kleinen Achse
mit der Normalen eines an C heranrückenden Punktes P. Die Normale des Punktes P halbiert wieder den Winkel zwischen den Brennstrahlen F1P und F2P. Betrachtet man den Kreis, der durch P, F1
und F2 geht, so ist die Normale die Halbierungslinie des Peripheriewinkels FPF2, d. h. sie schneidet den unteren Kreisbogen F1F2 in seiner
Mitte; diese Mitte liegt auf der kleinen Achse der Ellipse. Rückt nun
P nach C, so wird der Kreis durch P, F, und FZ' zum Kreis durch C,
Fi und F2. Der Schnittpunkt dieses Kreises mit der kleinen Achse oder
ihrer Verlängerung ist die Grenzlage des Punktes, in dem die Normale
von P die kleine Achse schneidet. Damit ist der Krümmungsmittelpunkt
K2 für den Punkt C gefunden. Er liegt auf dem in F, auf CF, errichteten
Lot, und aus ähnlichen Dreiecken folgt der Wert des Krümmungsradius, b.
~ 7. Die beiden Erzeugungen der Ellipse durch gleitende Strecken.
Durch Vervollständigung der in ~ 2 betrachteten Figur 62 kommt man
zu wichtigen Sätzen.