Vorlesungen über darstellende geometrie, von Dr. F.v. Dalwigk.

~~ 4-5. VIII. Abschnitt. Die Ellipse als persp. affine Kurve des Kreises usw. 85
linie der beiden Scheitel.1) Die Verlängerung des Lotes trifft die beiden
Hauptachsen in den Krüimmungsmittelpunkten der betrachteten Scheitel.
1K ist der Krümmungsmittelpunkt von A, K, der von C. Der Beweis
beruht auf ähnlichen Dreiecken. Die Krümmungsmittelpunkte der andern
Scheitel folgen aus der Symmetrie.
Die dicht an den Scheiteln liegenden Stücke der Ellipse werden beim
Zeichnen geradezu durch Stücke der Krümmungskreise ersetzt. Dabei
kann man an den Scheiteln der kleinen Achse ziemlich lange Kreisbogen
verwenden, an den Scheiteln der großen Achse aber nur wesentlich kürzere
Stücke, weil hier die Krümmung der Ellipse viel rascher wechselt. -
Zum Zeichnen der Ellipse braucht man außer den Kreisbogen noch einige
Punkte, die man nach ~ 2 bestimmen kann. Gut ist es auch, wenigstens für
einen Teil dieser Punkte die Tangenten zu konstruieren. Ein anderes Verfahren zur Bestimmung einzelner Ellipsenpunkte wird in ~ 7 behandelt.
Es ist besonders vorteilhaft, freilich liefert es nicht auch die Kurventangenten.
~ 5. Beiläufig sich ergebende Ellipsenpunkte. Einen speziellen
Ellipsenpunkt und die zugehörige Tangente erhält man aus Figur 63
sehr leicht auf Grund folgender Beziehung: Der Winkel zwischen
der Verbindungslinie der beiden Scheitel A und C und der großen Achse
sei S9, dann sind die beiden Strecken CJ und AJ, in welchen die Sehne
A C durch das von H aus auf sie gefällte Lot geteilt wird, a cos p und
b sin Sp. Ein Punkt mit den Koordinaten x0 = a cos?, o = b. sin
x2 t2
gehört der Ellipse 2 + b = 1 an und seine Tangente bildet mit der
Abszissenachse den Winkel 450; denn es ist
tg r - 2 ~ - cotg = -.
a2y a
Man braucht demnach nur die Strecken CJ und AJ so abzutragen, daß
sie Abszisse und Ordinate eines Punktes werden. Dann ist dieser ein
Punkt der Ellipse und seine Tangente bildet mit beiden Hauptachsen den
Winkel 45o.
Die Konstruktion der Krümmungskreise für die Scheiteln liefert demnach ohne weiteres die Koordinaten von den vier symmetrisch zueinander
liegenden Punkten der Ellipse, in denen die Tangenten mit den Hauptachsen Winkel von 450 bilden. In manchen Fällen läßt sich die Kurve aus
den Krümmungskreisen an den Scheiteln und aus den genannten vier
Punkten und ihren Tangenten vollständig zeichnen, ohne daß man weitere
Punkte nötig hat. Meistens wird man einige weitere Punkte an geeigneten Stellen einschalten, wie oben und in ~ 7 angegeben ist.
1) Zum Lotfällen brauchte man diese Gerade nicht zu zeichnen; sie wird aber
später noch verwendet (~ 5).