Darstellende und projective Geometrie nach dem gegenwärtigen Stande dieser Wissenschaft mit besonderer Rücksicht auf die Bedürfnisse höherer Lehranstalten und das Selbststudium, von dr. Gustav Ad. v. Peschka.

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sämmtliche auf dem Paraboloide liegenden Parabeln dieselben unendlich fernen Punkte U besitzen, so ergibt sich sofort:
81. "Die Achsen aller auf einem hyperbolischen Paraboloide
liegenden Parabeln sind parallel zzur Achse des Paraboloides."
~. 88.
Jede durch die Achse des hyperbolischen Paraboloides gehende
Ebene schneidet die genannte Fläche in einer Parabel, deren Achse
die Achse des Paraboloides ist.
Denn die Schnittcurve geht durch den Scheitel A des Paraboloides; die Tangente der Parabel in diesem Punkte A, ist der Schnitt
der Berührungsebene (gs, ls) mit der schneidenden Ebene, also eine zur
Geraden A U senkrechte Gerade.
Die Gerade A U aber, welche durch den unendlich fernen Punkt
U der Parabel geht und die Parabel noch in einem zweiten Punkte A,,dem Scheitel" unter rechtem Winkel trifft, stellt offenbar die Achse
der Parabel dar. Demnach ergibt sich der Satz:
82. "Die Achse eines hyplerbolischen Paraboloides ist auch7 die
Achse für alle Parabeln auf dem Paraboloide, deren Ebenen durch
sie gehen."
~. 89.
Auf einem windschiefen Hyperboloide existiert zu jeder Erzeugenden eine parallele Erzeugende im anderen
Systeme.
Auf einem hyperbolischen Paraboloide hingegen gibt es kein
einziges Paar paralleler Geraden.
Gesetzt, es wären gi und li zwei parallele Erzeugende, welche
selbstverständlich verschiedenen Systemen angehören müssten.
Ist yg irgend eine beliebige anderweitige Erzeugende, so bestimmen die Erzeugenden 1 auf gi und ga ähnliche Punktreihen, welchen,
als entsprechende Punkte, auch die Schnittpunkte von gi und ga mit
li angehören müssten.
Der erste dieser beiden Schnittpunkte liegt aber, der Voraussetzung nach, in unendlicher Ferne, der zweite hingegen in endlicher
Entfernung; es würde daher in zwei ähnlichen Reihen dem unendlich
fernen Punkte der einen ein im Endlichen 'gelegener Punkt der anderen entsprechen, was undenkbar ist; hiernach folgt der Satz:
83. "Auf einem blyperbolisc7en Paraboloide gibt es kein Paar
paralleler Geraden."